Skupovi brojeva

Skup prirodnih brojeva $\mathbb{N}$

Prirodni brojevi su, najjednostavnije rečeno, brojevi koje koristimo za brojanje.

$\mathbb{N} = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ ...\}$

Osnovne karakteristike prirodnih brojeva su:

• Pozitivni su: Uvek su veći od nule.
• Celi su: Nemaju decimalne delove ili razlomke.
• Beskonačan skup: Ne postoji najveći prirodni broj. Uvek možemo dodati 1 i dobiti sledeći prirodni broj.

Skup prirodnih brojeva sa nulom $\mathbb{N}_0$

U matematici, pojam prirodnih brojeva se odnosi na pozitivne cele brojeve počevši od $1$, tj. $\{1,\ 2,\ 3,\ …\}$. Međutim, često je potrebno da u skup priodnih brojeva uključimo $0$. Kada želimo da naglasimo da skup prirodnih brojeva sadrži i nulu, koristimo oznaku $\mathbb{N}_0$. Ovaj skup se naziva i skup nenegativnih celih brojeva i definišemo ga kao:

$\mathbb{N}_0 = \{0, \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ ...\}$

Skup celih brojeva $\mathbb{Z}$

Skup celih brojeva, označen sa $\mathbb{Z}$, je proširenje prirodnih brojeva (i nule) koje uključuje i negativne cele brojeve.

Dok prirodni brojevi služe za brojanje (npr. 1, 2, 3...), a $\mathbb{N}_0$ dodaje i nulu (0, 1, 2, 3...), celi brojevi nam omogućavaju da predstavimo koncept duga ili manjka, odnosno brojeve manje od nule.

Skup celih brojeva se definiše:

$\mathbb{Z} = \{..., \ -4, \ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ ...\}$

Skup racionalnih brojeva $\mathbb{Q}$

Skup racionalnih brojeva, označen sa $\mathbb{Q}$, je proširenje celih brojeva koje uključuje sve brojeve koji se mogu izraziti kao razlomak dva cela broja, pod uslovom da imenilac nije nula.

Jednostavnije rečeno, racionalni brojevi su svi oni brojevi koje možemo napisati u obliku $\frac{p}{q}$, gde su:

• $p$ ceo broj
• $q$ ce broj različit od nule

Formalno, skup racionalnih brojeva se definiše kao:

$\mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q} | \ p \in\mathbb{Z}, \ q \in\mathbb{Z}, \ q \ne 0 \}$

Skup iracionalnih brojeva $\mathbb{I}$

Iracionalni brojevi, označeni sa $\mathbb{I}$, po definiciji su brojevi koji nisu racionalni. To znači da se ne mogu izraziti kao razlomak $\frac{p}{q}$, gde su p i q celi brojevi i

Kada se iracionalni brojevi predstave u decimalnom obliku, oni imaju beskonačan broj decimalnih mesta koja se ne ponavljaju i ne završavaju. Za razliku od racionalnih brojeva (koji imaju konačan broj decimala ili se ponavljaju u nekom obrascu), iracionalni brojevi nemaju nikakav prepoznatljiv obrazac ponavljanja cifara.

Primeri iracionalnih brojeva:

1. Kvadratni koreni

• $\sqrt{2} = 1.41421356237...$
• $\sqrt{3} = 1.73205081017...$
• $\sqrt{5} = 2.2360679775...$

2. Broj Pi ($\pi$)

• $\pi=3.14159265358979323846...$

3. Ojlerov broj

• $e=2.71828182845904523536...$

Skup realnih brojeva $\mathbb{R}$

Realni brojevi, označeni sa $\mathbb{R}$, predstavljaju skup svih racionalnih i iracionalnih brojeva. Mogu se zamisliti kao svi brojevi koji se nalaze na beskonačnoj, neprekidnoj brojevnoj pravoj.

Realni brojevi obuhvataju sve brojeve koje smo do sada spominjali:

• Prirodne brojeve
• Cele brojeve
• Racionalne brojeve
• Iracionalne brojeve

Formalno, skup realnih brojeva se definiše kao:

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \ \ \cup \ \ \mathbb{I}$

Skup kompleksnih brojeva $\mathbb{C}$