1931. Eksponencijalna funkcija i njen grafik

REŠENJE ZADATKA

Prvo identifikujemo osnovnu eksponencijalnu funkciju od koje polazimo.

f(x) = \left(\frac{3}{2}\right)^x

Pošto je osnova $a = \frac{3}{2} > 1 ,$ funkcija $f(x)$ je rastuća i prolazi kroz tačku $(0, 1) .$ Horizontalna asimptota je prava $y = 0 .$

Sledeći korak je primena transformacije refleksije u odnosu na x-osu, čime dobijamo funkciju:

g(x) = -\left(\frac{3}{2}\right)^x

Grafik funkcije $g(x)$ je simetričan grafiku $f(x)$ u odnosu na x-osu. Funkcija je sada opadajuća, prolazi kroz tačku $(0, -1) ,$ a horizontalna asimptota ostaje $y = 0 .$

Konačno, vršimo vertikalno pomeranje (translaciju) grafika za 2 jedinice naviše duž y-ose:

y = -\left(\frac{3}{2}\right)^x + 2

Određujemo ključne elemente finalnog grafika: horizontalna asimptota se pomera na $y = 2 ,$ a presek sa y-osom računamo za $x = 0 :$

y = 2 - \left(\frac{3}{2}\right)^0 = 2 - 1 = 1

Računamo nulu funkcije (presek sa x-osom) postavljajući $y = 0 :$

2 - \left(\frac{3}{2}\right)^x = 0 \implies \left(\frac{3}{2}\right)^x = 2 \implies x = \log_{\frac{3}{2}} 2

Grafik funkcije je opadajuća kriva koja teži pravoj $y = 2$ kada $x \to -\infty ,$ prolazi kroz tačke $(0, 1)$ i $(\log_{1.5} 2, 0) ,$ i odlazi u $-\infty$ kada $x \to +\infty .$

477.b