1993. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primetimo da se u jednačini pojavljuje izraz $5^x .$ Uvodimo smenu kako bismo jednačinu sveli na kvadratnu.

t = 5^x, \quad t > 0

Zamenom smene u polaznu jednačinu dobijamo:

t - 24 = \frac{25}{t}

Množimo celu jednačinu sa $t$ (budući da je $t > 0$ ) kako bismo se oslobodili razlomka:

t^2 - 24t = 25

Prebacujemo sve članove na levu stranu da dobijemo kvadratnu jednačinu u standardnom obliku:

t^2 - 24t - 25 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine:

D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676

Računamo rešenja po $t :$

t_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{24 \pm 26}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja za $t :$

t_1 = \frac{24 + 26}{2} = 25, \quad t_2 = \frac{24 - 26}{2} = -1

S obzirom na uslov smene $t = 5^x > 0 ,$ rešenje $t_2 = -1$ odbacujemo. Vraćamo smenu za $t_1 = 25 :$

5^x = 25

Zapišimo broj 25 kao stepen osnove 5:

5^x = 5^2

Izjednačavanjem izložilaca dobijamo konačno rešenje:

x = 2

484.đ