2055.

490.v

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu: (37)x2−2xx2⩾1 \left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{x^2-2x}{x^2}} \geqslant 1

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen nejednačine. Kako se promenljiva x x nalazi u imeniocu stepena, imenilac mora biti različit od nule.

x2≠0  ⟹  x≠0x^2 \neq 0 \implies x \neq 0

Broj 1 možemo napisati kao stepen sa osnovom 37, \frac{3}{7} , koristeći osobinu a0=1. a^0 = 1 .

(37)x2−2xx2⩾(37)0\left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{x^2-2x}{x^2}} \geqslant \left(\frac{3}{7}\right)^0

Pošto je osnova stepena a=37 a = \frac{3}{7} broj između 0 i 1 (0<37<1 0 < \frac{3}{7} < 1 ), funkcija je opadajuća, pa se pri prelasku na eksponente znak nejednakosti okreće.

x2−2xx2⩽0\frac{x^2-2x}{x^2} \leqslant 0

Sređujemo izraz u brojiocu izvlačenjem zajedničkog faktora x. x .

x(x−2)x2⩽0\frac{x(x-2)}{x^2} \leqslant 0

Kako je x2>0 x^2 > 0 za svako x≠0, x \neq 0 , znak nejednačine zavisi samo od brojioca. Možemo i skratiti izraz sa x x uz uslov x≠0. x \neq 0 .

x−2x⩽0\frac{x-2}{x} \leqslant 0
x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0)
x∈(0,2)x \in (0, 2)
x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
x−2x-2
−-
−-
++
xx
−-
++
++
x−2x\frac{x-2}{x}
++
−-
++

Iz tabele vidimo da je izraz manji ili jednak nuli u intervalu (0,2]. (0, 2] . Vrednost 0 je isključena zbog domena, dok je 2 uključena jer je nejednakost ne-stroga.

x∈(0,2]x \in (0, 2]