2080. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Iz druge jednačine izražavamo nepoznatu $y$ preko $x .$

y = 5 - x

Zamenjujemo dobijeni izraz za $y$ u prvu jednačinu.

2^x + 2^{5-x} = 12

Primenjujemo pravilo za stepenovanje $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ da bismo razdvojili stepen.

2^x + \frac{2^5}{2^x} = 12

Računamo vrednost stepena $2^5 .$

2^x + \frac{32}{2^x} = 12

Uvodimo smenu $t = 2^x ,$ uz uslov $t > 0 .$

t + \frac{32}{t} = 12

Množimo celu jednačinu sa $t$ kako bismo se oslobodili razlomka i prebacujemo sve članove na levu stranu.

t^2 - 12t + 32 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2}

Računamo vrednost izraza pod korenom.

t_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad t_2 = \frac{8}{2} = 4

Vraćamo se na smenu $2^x = t$ za prvo rešenje $t_1 = 8 .$

2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x_1 = 3

Računamo odgovarajuću vrednost za $y_1$ koristeći izraz $y = 5 - x .$

y_1 = 5 - 3 = 2

Vraćamo se na smenu za drugo rešenje $t_2 = 4 .$

2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_2 = 2

Računamo odgovarajuću vrednost za $y_2 .$

y_2 = 5 - 2 = 3

Zapisujemo konačna rešenja sistema kao skup uređenih parova $(x, y) .$

(x, y) \in \{(3, 2), (2, 3)\}

2080.Eksponencijalne jednačine i nejednačine