2082. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Primetimo da se broj $125$ može zapisati kao stepen broja $5 :$

125 = 5^3

Zamenimo ovo u drugu jednačinu:

x^{y^2+2} = 5^3

Iz prve jednačine znamo da je $5 = x^{2y^2-1} .$ Zamenimo ovo u dobijenu jednačinu:

x^{y^2+2} = (x^{2y^2-1})^3

Primenimo pravilo za stepenovanje stepena $(a^m)^n = a^{m \cdot n} :$

x^{y^2+2} = x^{3(2y^2-1)}

Sredimo izložilac na desnoj strani:

x^{y^2+2} = x^{6y^2-3}

Pošto su osnove jednake (i očigledno $x \neq 1$ jer bi u suprotnom bilo $1=5$ ), možemo izjednačiti izložioce:

y^2+2 = 6y^2-3

Grupišemo nepoznate na jednu stranu, a poznate na drugu:

6y^2 - y^2 = 2 + 3

Sredimo jednačinu po $y :$

5y^2 = 5

Podelimo sa $5 :$

y^2 = 1

Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo dva rešenja za $y :$

y_1 = 1, \quad y_2 = -1

Sada računamo vrednost za $x$ zamenom $y^2 = 1$ u prvu jednačinu sistema:

x^{2(1)-1} = 5

Sredimo izložilac i dobijamo vrednost za $x :$

x^1 = 5 \implies x = 5

Konačna rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(x, y) \in \{(5, 1), (5, -1)\}

2082.Eksponencijalne jednačine i nejednačine