Podeli

174.
Eksponencijalni limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {x+3} {x-9}\bigg)^{\frac 2 3 x}

REŠENJE ZADATKA

Dobija se neodređeni izraz oblika: $1^{\infin}.$

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {x+3} {x-9}\bigg)^{\frac 2 3 x} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {\frac x x+\frac 3 x} {\frac x x-\frac 9 x}\bigg)^{\frac 2 3 x} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(\frac {1+\cancel{\frac 3 x}} {1-\cancel{\frac 9 x}}\bigg)^{\frac 2 3 x} = 1^\infty

Cilj rešavanja ovog zadatka je preoblikovati dobijeni izraz kako bi se mogao primeniti poznati tablični limes:

\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{1}{nešto})^{nešto}=e

Transformisati bazu dodavanjem jedinice kako bi poprimila oblik: $1+\frac{1}{nešto}.$ Oduzeti dodatu jedinicu da bi izraz ostao matematički ekvivalentan.

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {x+3} {x-9}-1\bigg)^{\frac 2 3 x}

Srediti izraz u zagradi.

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {x+3-(x-9)} {x-9}\bigg)^{\frac 2 3 x} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {x+3-x+9} {x-9}\bigg)^{\frac 2 3 x} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac {12} {x-9}\bigg)^{\frac 2 3 x}

Prilagoditi imenilac uzimanjem recipročne vrednosti trenutnog razlomka.

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {x-9} {12}}\bigg)^{\frac 2 3 x}

Da bi imenilac i eksponent bili isti, razlomak iz imenioca dodati u eksponent, a kako bi izraz ostao nepromenjen, dodati i njegovu recipročnu vrednost.

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {x-9} {12}}\bigg)^{\frac {x-9} {12}* \frac {12} {x-9}*\frac 2 3 x} = \lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {x-9} {12}}\bigg)^{\frac {x-9} {12}* \frac {8x} {x-9}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {x-9} {12}}\bigg)^{\frac {x-9} {12}* \frac {\cancel{12}} {x-9}*\frac 2 {\cancel{3}} x}

Sada se može primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {\infin}}(1+\frac{1}{nesto})^{nesto}=e$

e^{\lim_{{x} \to {\infin}}\frac{8x}{x-9}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\lim_{{x} \to {\infty}} \bigg(1+\frac 1 {\frac {x-9} {12}}\bigg)^\frac {x-9} {12} = e

Odrediti graničnu vrednost u eksponentu.

e^{\lim_{{x} \to {\infin}}\frac{\frac {8x} x}{\frac x x-\frac 9 x}} = e^{\lim_{{x} \to {\infin}}\frac{8}{1-\cancel{\frac 9 x}}} = e^8

174.Eksponencijalni limes

174.
Eksponencijalni limes