2786.

Inverzne trignometrijske funkcije

TEKST ZADATKA

Izračunati: arctg(tg(−8π3)). \text{arctg}\left(\text{tg}\left(-\frac{8\pi}{3}\right)\right) .

REŠENJE ZADATKA

Funkcija arkustangens je inverzna funkcija tangensa na intervalu (−π2,π2). \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) . Zato važi jednakost:

arctg(tg(x))=x,za x∈(−π2,π2)\text{arctg}(\text{tg}(x)) = x, \quad \text{za } x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Ugao −8π3 -\frac{8\pi}{3} ne pripada intervalu (−π2,π2), \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) , pa ne možemo direktno primeniti ovo pravilo.

Koristimo periodičnost funkcije tangens. Tangens je periodična funkcija sa osnovnim periodom π, \pi , što znači da važi:

tg(x)=tg(x+kπ),k∈Z\text{tg}(x) = \text{tg}(x + k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Tražimo ceo broj k k takav da ugao −8π3+kπ -\frac{8\pi}{3} + k\pi pripada intervalu (−π2,π2). \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) . Dodajemo 3π 3\pi (odnosno 9π3 \frac{9\pi}{3} ):

−8π3+3π=−8π3+9π3=π3-\frac{8\pi}{3} + 3\pi = -\frac{8\pi}{3} + \frac{9\pi}{3} = \frac{\pi}{3}

Pošto ugao π3 \frac{\pi}{3} pripada intervalu (−π2,π2), \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) , možemo zapisati:

tg(−8π3)=tg(π3)\text{tg}\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)

Sada zamenjujemo ovo u početni izraz i primenjujemo pravilo za inverznu funkciju:

arctg(tg(−8π3))=arctg(tg(π3))=π3\text{arctg}\left(\text{tg}\left(-\frac{8\pi}{3}\right)\right) = \text{arctg}\left(\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{\pi}{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti