674.

3−x2+x+6>4x−23\sqrt{-x^2+x+6}>4x-2

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

3−x2+x+6>4x−23\sqrt{-x^2+x+6}>4x-2
REŠENJE ZADATKA

Nejednačina je definisana za:

−x2+x+6≥0  ⟹  x∈[−2,3]-x^2+x+6\ge0 \implies x\in[-2,3]

Podeliti izraz sa 3.3.

−x2+x+6>4x3−23\sqrt{-x^2+x+6}>\frac{4x}3-\frac23

Nejednačina oblika a(x)>b(x)\sqrt{a(x)} > b(x) ekvivalentna je disjunkciji sistema nejednačina:

( a(x)>b2(x) ∧ b(x)≥0 )∨( a(x)≥0 ∧ b(x)<0 )\Big(\ a(x)>b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ \Big) \lor \Big(\ a(x) \ge0 \ \land \ b(x)<0\ \Big)
( −x2+x+6>(4x3−23)2 ∧ 4x3−23≥0 )∨( −x2+x+6≥0 ∧ 4x3−23<0 )( x2−x−2>0 ∧ 4x≥2 )∨( (x−3)(x+2)≥0 ∧ 4x<2 )( x∈(−1,2) ∧ x≥12 )∨( x∈[−2,3] ∧ x<12 )\Big( \ -x^2+x+6>\bigg(\frac{4x}3-\frac23\bigg)^2 \ \land \ \frac{4x}3-\frac23\ge0 \ \Big) \quad \lor \quad \Big(\ -x^2+x+6 \ge 0 \ \land \ \frac{4x}3-\frac23<0\ \Big) \\ \Big( \ x^2-x-2>0 \ \land \ 4x \ge 2 \ \Big ) \quad \lor \quad \Big(\ (x-3)(x+2) \ge 0 \ \land \ 4x<2\ \Big) \\ \Big( \ x\in(-1,2) \ \land \ x \ge \frac 12 \ \Big ) \quad \lor \quad \Big(\ x\in[-2,3] \ \land \ x<\frac 12\ \Big) \\

Naći presek rešenja slučajeva nejednačine i uslova x∈[−2,3]. x\in[-2,3] .

x∈[−2,2) ∩ [−2,3]=[−2,2)x\in[-2,2) \ \cap\ [-2,3]=[-2,2)