678.

7x−3>3x−19+5x−27 \sqrt{7x-3}>\sqrt{3x-19}+\sqrt{5x-27}

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

7x−3>3x−19+5x−27\sqrt{7x-3}>\sqrt{3x-19}+\sqrt{5x-27}
REŠENJE ZADATKA

Nejednačina je definisana za:

7x−3≥0∧3x−19≥0∧5x−27≥0  ⟹  x≥1937x-3\ge0 \quad\land\quad 3x-19\ge0 \quad\land\quad 5x-27\ge0 \implies x\ge\frac{19}3

Kvadrirati obe strane.

(7x−3)2>(3x−19+5x−27)2(\sqrt{7x-3})^2>(\sqrt{3x-19}+\sqrt{5x-27})^2

Primeniti formulu za kvadrat zbira (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.

7x−3>3x−19+2⋅3x−19⋅5x−27+5x−27−x+33>2(3x−19)(5x−27)7x-3>3x-19+2\cdot\sqrt{3x-19}\cdot\sqrt{5x-27}+5x-27 \\ -x+33>2\sqrt{(3x-19)(5x-27)}

Podeliti izraz sa 2.2.

(3x−19)(5x−27)<33−x2\sqrt{(3x-19)(5x-27)}<\frac{33-x}2

Nejednačina oblika a(x)<b(x)\sqrt{a(x)} < b(x) ekvivalentna je disjunkciji sistema nejednačina:

a(x)<b2(x) ∧ b(x)>0a(x)<b^2(x) \ \land \ b(x)> 0
(3x−19)(5x−27)<(33−x2)2∧33−x2>015x2−176x+513<x2−66x+10894∧33−x>060x2−704x+2052<x2−66x+1089∧x<3359x2−638x+962<0∧x<33(3x-19)(5x-27)<\bigg(\frac{33-x}2\bigg)^2 \quad\land\quad \frac{33-x}2>0 \\ 15x^2-176x+513<\frac{x^2-66x+1089}4 \quad\land\quad 33-x>0 \\ 60x^2-704x+2052<x^2-66x+1089 \quad\land\quad x<33 \\ 59x^2-638x+962<0 \quad\land\quad x<33

Pošto je a=59>0a=59>0 i D=180012>0,D=180012>0, kvadratna funkcija 59x2−638x+96259x^2-638x+962 je manja od 00 za:

x∈(10759,9)∧x<33  ⟹  x∈(10759,9)x\in\bigg(\frac{107}{59}, 9\bigg) \quad\land\quad x<33 \implies x\in\bigg(\frac{107}{59}, 9\bigg)
DODATNO OBJAŠNJENJE

Naći presek dobijenih rešenja i uslova x≥193.x\ge\frac{19}3.

x∈(10759,9) ∩ [193,∞)=[193,9)x\in\bigg(\frac{107}{59}, 9\bigg) \ \cap \ [\frac {19}3,\infty)=[\frac{19}3,9)