1872.

363.a

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: a+x+2a+x=aa+x, \sqrt{a+x} + \sqrt{2a+x} = \frac{a}{\sqrt{a+x}} , gde je a>0. a > 0 .

a+x+2a+x=aa+x\sqrt{a+x} + \sqrt{2a+x} = \frac{a}{\sqrt{a+x}}
REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen jednačine. Izrazi pod korenom moraju biti nenegativni, a imenilac mora biti različit od nule.

{a+x>02a+x≥0  ⟹  {x>−ax≥−2a\begin{cases} a+x > 0 \\ 2a+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -a \\ x \ge -2a \end{cases}

Pošto je dato da je a>0, a > 0 , strožiji uslov je x>−a. x > -a . Domen jednačine je:

x∈(−a,+∞)x \in (-a, +\infty)

Množimo celu jednačinu sa a+x \sqrt{a+x} kako bismo se oslobodili razlomka.

(a+x+2a+x)a+x=a(\sqrt{a+x} + \sqrt{2a+x}) \sqrt{a+x} = a

Množimo svaki član u zagradi sa a+x. \sqrt{a+x} .

a+x+(a+x)(2a+x)=aa+x + \sqrt{(a+x)(2a+x)} = a

Oduzimamo a a sa obe strane i prebacujemo x x na desnu stranu.

(a+x)(2a+x)=−x\sqrt{(a+x)(2a+x)} = -x

Da bi jednačina imala rešenja, desna strana mora biti nenegativna, jer je kvadratni koren uvek nenegativan.

−x≥0  ⟹  x≤0-x \ge 0 \implies x \le 0

Uzimajući u obzir domen x>−a x > -a i uslov x≤0, x \le 0 , rešenje mora pripadati intervalu:

x∈(−a,0]x \in (-a, 0]

Kvadriramo obe strane jednačine.

((a+x)(2a+x))2=(−x)2(\sqrt{(a+x)(2a+x)})^2 = (-x)^2

Sređujemo dobijenu jednačinu.

(a+x)(2a+x)=x2(a+x)(2a+x) = x^2

Množimo zagrade na levoj strani.

2a2+ax+2ax+x2=x22a^2 + ax + 2ax + x^2 = x^2

Skraćujemo x2 x^2 sa obe strane i sabiramo slične monome.

2a2+3ax=02a^2 + 3ax = 0

Rešavamo jednačinu po x. x .

3ax=−2a23ax = -2a^2

Delimo sa 3a 3a (što je dozvoljeno jer je a>0 a > 0 ).

x=−2a23a=−2a3x = -\frac{2a^2}{3a} = -\frac{2a}{3}

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada intervalu (−a,0]. (-a, 0] . Pošto je a>0, a > 0 , važi −a<−2a3≤0, -a < -\frac{2a}{3} \le 0 , pa je rešenje prihvatljivo.

x=−2a3x = -\frac{2a}{3}