1469. Jednačine koje se svode na kvadratne

Uvodimo smenu $t = x^2$ kako bismo bikvadratnu jednačinu sveli na kvadratnu. Važno je napomenuti da mora važiti $t \ge 0 .$

t^2 - 5t + 4 = 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine $a, b, c :$

a = 1, \quad b = -5, \quad c = 4

Računamo rešenja kvadratne jednačine po nepoznatoj $t$ koristeći kvadratnu formulu:

t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo vrednosti koeficijenata u formulu:

t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1

Sada vraćamo smenu $x^2 = t$ za obe dobijene vrednosti kako bismo našli rešenja po $x .$

x^2 = 4 \quad \text{ili} \quad x^2 = 1

Iz prve jednačine $x^2 = 4$ dobijamo prva dva rešenja:

x_1 = 2, \quad x_2 = -2

Iz druge jednačine $x^2 = 1$ dobijamo preostala dva rešenja:

x_3 = 1, \quad x_4 = -1

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \{-2, -1, 1, 2\}

1469.Jednačine koje se svode na kvadratne