1509. Jednačine koje se svode na kvadratne

Primetimo da je ovo simetrična jednačina četvrtog stepena. Pošto $x = 0$ nije rešenje, delimo celu jednačinu sa $x^2$ kako bismo je transformisali.

6x^2 + 5x - 38 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2} = 0

Grupišemo članove sa istim koeficijentima:

6\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 5\left(x + \frac{1}{x}\right) - 38 = 0

Uvodimo smenu $t = x + \frac{1}{x} .$ Tada je $t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} ,$ odnosno $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .$

6(t^2 - 2) + 5t - 38 = 0

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t :$

6t^2 + 5t - 50 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} :$

t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 6 \cdot (-50)}}{12} = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{12} = \frac{-5 \pm 35}{12}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}, \quad t_2 = \frac{-40}{12} = -\frac{10}{3}

Vraćamo smenu za prvu vrednost $t_1 = \frac{5}{2} :$

x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $x :$

x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \implies x_1 = 2, \, x_2 = \frac{1}{2}

Vraćamo smenu za drugu vrednost $t_2 = -\frac{10}{3} :$

x + \frac{1}{x} = -\frac{10}{3} \implies 3x^2 + 10x + 3 = 0

Rešavamo drugu kvadratnu jednačinu po $x :$

x_{3,4} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{-10 \pm 8}{6} \implies x_3 = -\frac{1}{3}, \, x_4 = -3

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \left\{ -3, -\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 2 \right\}

1509.Jednačine koje se svode na kvadratne