1518.

194.a

TEKST ZADATKA

Razlika kubova dva uzastopna prirodna broja jednaka je: 91; Koji su to brojevi?

REŠENJE ZADATKA

Neka su traženi uzastopni prirodni brojevi označeni sa n n i n+1, n+1 , pri čemu je n∈N. n \in \mathbb{N} .

Postavljamo jednačinu na osnovu uslova zadatka. Kako je n+1>n, n+1 > n , razlika njihovih kubova se zapisuje kao:

(n+1)3−n3=91(n+1)^3 - n^3 = 91

Primenjujemo formulu za kub binoma na izraz (n+1)3. (n+1)^3 .

(n3+3n2+3n+1)−n3=91(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 91

Sređujemo jednačinu tako što potiremo članove n3 n^3 i −n3. -n^3 .

3n2+3n+1=913n^2 + 3n + 1 = 91

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku.

3n2+3n−90=03n^2 + 3n - 90 = 0

Delimo celu jednačinu sa 3 radi lakšeg rešavanja.

n2+n−30=0n^2 + n - 30 = 0

Ovo je kvadratna jednačina oblika an2+bn+c=0. an^2 + bn + c = 0 . Računamo njenu diskriminantu koristeći formulu D=b2−4ac. D = b^2 - 4ac .

D=12−4⋅1⋅(−30)=1+120=121D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121

Pošto je D>0, D > 0 , jednačina ima dva različita realna rešenja. Računamo ih koristeći formulu za rešenja kvadratne jednačine:

n1,2=−b±D2a=−1±1212=−1±112n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 \pm 11}{2}

Razdvajamo rešenja na n1 n_1 i n2. n_2 .

n1=102=5ilin2=−122=−6n_1 = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{ili} \quad n_2 = \frac{-12}{2} = -6

Pošto se u zadatku traže prirodni brojevi (n∈N n \in \mathbb{N} ), negativno rešenje n2=−6 n_2 = -6 odbacujemo. Dakle, prvi broj je 5, a njegov sledbenik je:

n+1=5+1=6n + 1 = 5 + 1 = 6

Traženi uzastopni prirodni brojevi su 5 i 6.

n=5,n+1=6n = 5, \quad n + 1 = 6