1420.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve z z za koje je:

∣z+i∣=∣z+2∣|z + i| = |z + 2|
REŠENJE ZADATKA

Pretpostavimo da je kompleksni broj z z zapisan u algebarskom obliku z=x+iy, z = x + iy , gde su x x i y y realni brojevi. Zamenimo z z u polaznu jednačinu.

∣x+iy+i∣=∣x+iy+2∣|x + iy + i| = |x + iy + 2|

Grupišemo realne i imaginarne delove unutar modula sa obe strane jednakosti.

∣x+i(y+1)∣=∣(x+2)+iy∣|x + i(y + 1)| = |(x + 2) + iy|

Koristimo definiciju modula kompleksnog broja ∣a+bi∣=a2+b2. |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} .

x2+(y+1)2=(x+2)2+y2\sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + y^2}

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo eliminisali korene.

x2+(y+1)2=(x+2)2+y2x^2 + (y + 1)^2 = (x + 2)^2 + y^2

Razvijamo kvadrate binoma na obe strane.

x2+y2+2y+1=x2+4x+4+y2x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + 4x + 4 + y^2

Potiremo iste članove x2 x^2 i y2 y^2 sa obe strane i sređujemo preostalu jednačinu.

2y+1=4x+42y + 1 = 4x + 4

Izražavamo y y preko x. x .

2y=4x+3  ⟹  y=2x+322y = 4x + 3 \implies y = 2x + \frac{3}{2}

Konačno rešenje su svi kompleksni brojevi oblika z=x+iy z = x + iy koji zadovoljavaju dobijenu linearnu zavisnost.

z=x+i(2x+32),x∈Rz = x + i\left(2x + \frac{3}{2}\right), \quad x \in \mathbb{R}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti