1452.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dokazati da za kompleksne brojeve z1 z_1 i z2 z_2 važi sledeća jednakost, poznata kao zakon paralelograma:

∣z1+z2∣2+∣z1−z2∣2=2∣z1∣2+2∣z2∣2|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2|z_1|^2 + 2|z_2|^2
REŠENJE ZADATKA

Koristimo osnovnu osobinu kvadrata modula kompleksnog broja, po kojoj je ∣z∣2=z⋅zˉ, |z|^2 = z \cdot \bar{z} , gde je zˉ \bar{z} konjugovano kompleksni broj.

∣z1+z2∣2=(z1+z2)(z1+z2‾)|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2})

Primenjujemo osobinu konjugovanja zbira: z1+z2‾=zˉ1+zˉ2. \overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2 .

∣z1+z2∣2=(z1+z2)(zˉ1+zˉ2)|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\bar{z}_1 + \bar{z}_2)

Množimo polinome unutar zagrada.

∣z1+z2∣2=z1zˉ1+z1zˉ2+z2zˉ1+z2zˉ2|z_1 + z_2|^2 = z_1\bar{z}_1 + z_1\bar{z}_2 + z_2\bar{z}_1 + z_2\bar{z}_2

Na isti način razvijamo izraz za razliku kompleksnih brojeva.

∣z1−z2∣2=(z1−z2)(zˉ1−zˉ2)=z1zˉ1−z1zˉ2−z2zˉ1+z2zˉ2|z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2)(\bar{z}_1 - \bar{z}_2) = z_1\bar{z}_1 - z_1\bar{z}_2 - z_2\bar{z}_1 + z_2\bar{z}_2

Sabiramo dobijene izraze za ∣z1+z2∣2 |z_1 + z_2|^2 i ∣z1−z2∣2. |z_1 - z_2|^2 .

(z1zˉ1+z1zˉ2+z2zˉ1+z2zˉ2)+(z1zˉ1−z1zˉ2−z2zˉ1+z2zˉ2)(z_1\bar{z}_1 + z_1\bar{z}_2 + z_2\bar{z}_1 + z_2\bar{z}_2) + (z_1\bar{z}_1 - z_1\bar{z}_2 - z_2\bar{z}_1 + z_2\bar{z}_2)

Primećujemo da se mešoviti članovi z1zˉ2 z_1\bar{z}_2 i z2zˉ1 z_2\bar{z}_1 potiru jer se pojavljuju sa suprotnim znacima.

2z1zˉ1+2z2zˉ22z_1\bar{z}_1 + 2z_2\bar{z}_2

Ponovo koristimo identitet zzˉ=∣z∣2 z\bar{z} = |z|^2 da bismo dobili finalni oblik dokaza.

2∣z1∣2+2∣z2∣22|z_1|^2 + 2|z_2|^2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti