1459.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti sve kompleksne brojeve z z za koje je:

Re(z2)=0\text{Re}(z^2) = 0
REŠENJE ZADATKA

Kompleksni broj z z zapisujemo u algebarskom obliku, gde su x x i y y realni brojevi.

z=x+iy,x,y∈Rz = x + iy, \quad x, y \in \mathbb{R}

Kvadriramo kompleksni broj z z koristeći formulu za kvadrat binoma, uzimajući u obzir da je i2=−1. i^2 = -1 .

z2=(x+iy)2=x2+2ixy+(iy)2z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2

Sređujemo izraz kako bismo jasno razdvojili realni i imaginarni deo.

z2=x2−y2+i(2xy)z^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)

Iz dobijenog izraza identifikujemo realni deo Re(z2). \text{Re}(z^2) .

Re(z2)=x2−y2\text{Re}(z^2) = x^2 - y^2

Postavljamo uslov zadatka da je realni deo jednak nuli.

x2−y2=0x^2 - y^2 = 0

Faktorizujemo dobijenu jednačinu kao razliku kvadrata.

(x−y)(x+y)=0(x - y)(x + y) = 0

Rešenja jednačine dobijamo kada je bar jedan od faktora jednak nuli.

y=xiliy=−xy = x \quad \text{ili} \quad y = -x

Zaključujemo da su traženi kompleksni brojevi oni koji leže na pravama y=x y = x ili y=−x y = -x u kompleksnoj ravni.

z=x+ixiliz=x−ix,x∈Rz = x + ix \quad \text{ili} \quad z = x - ix, \quad x \in \mathbb{R}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti