1462.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dokazati: z−1‾=z‾−1, \overline{z^{-1}} = \overline{z}^{-1} , z≠0 z \neq 0 ;

z−1‾=z‾−1,z≠0\overline{z^{-1}} = \overline{z}^{-1}, \quad z \neq 0
REŠENJE ZADATKA

Neka je kompleksan broj z z predstavljen u obliku z=a+bi, z = a + bi , gde su a,b∈R a, b \in \mathbb{R} i a2+b2≠0. a^2 + b^2 \neq 0 . Tada je recipročna vrednost broja z z definisana kao:

z−1=1z=1a+biz^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi}

Vršimo racionalizaciju imenioca množenjem brojioca i imenioca konjugovano-kompleksnim brojem z‾=a−bi: \overline{z} = a - bi :

z−1=a−bi(a+bi)(a−bi)=a−bia2+b2=aa2+b2−ba2+b2iz^{-1} = \frac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i

Sada tražimo konjugovanu vrednost dobijenog rezultata z−1‾. \overline{z^{-1}} . Menjamo znak imaginarnom delu:

z−1‾=aa2+b2+ba2+b2i\overline{z^{-1}} = \frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{a^2 + b^2}i

Sa druge strane, odredimo desnu stranu jednakosti z‾−1. \overline{z}^{-1} . Prvo nalazimo konjugovan broj z‾, \overline{z} , a zatim njegovu recipročnu vrednost:

z‾−1=1z‾=1a−bi\overline{z}^{-1} = \frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{a - bi}

Racionalizujemo izraz množenjem sa a+bi: a + bi :

z‾−1=a+bi(a−bi)(a+bi)=a+bia2+b2=aa2+b2+ba2+b2i\overline{z}^{-1} = \frac{a + bi}{(a - bi)(a + bi)} = \frac{a + bi}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{a^2 + b^2}i

Upoređivanjem rezultata iz koraka 3 i koraka 5, vidimo da su izrazi identični, čime je dokaz završen.

a+bia2+b2=a+bia2+b2\frac{a + bi}{a^2 + b^2} = \frac{a + bi}{a^2 + b^2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti