1097.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Osloboditi se iracionalnosti u imeniocu razlomka uz uslov a>b>0: a > b > 0 :

a+b+a−ba+b−a−b\frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo se oslobodili iracionalnosti u imeniocu, proširujemo razlomak izrazom koji dopunjuje imenilac do razlike kvadrata. U ovom slučaju, množimo i brojilac i imenilac sa a+b+a−b. \sqrt{a+b}+\sqrt{a-b} .

a+b+a−ba+b−a−b⋅a+b+a−ba+b+a−b\frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}} \cdot \frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}

U brojiocu dobijamo kvadrat binoma (A+B)2, (A+B)^2 , a u imeniocu razliku kvadrata (A−B)(A+B)=A2−B2. (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 .

(a+b+a−b)2(a+b)2−(a−b)2\frac{(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})^2}{(\sqrt{a+b})^2-(\sqrt{a-b})^2}

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma (A+B)2=A2+2AB+B2 (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 u brojiocu i kvadriramo korene u imeniocu.

(a+b)+2(a+b)(a−b)+(a−b)(a+b)−(a−b)\frac{(a+b) + 2\sqrt{(a+b)(a-b)} + (a-b)}{(a+b) - (a-b)}

Sređujemo izraze u brojiocu i imeniocu. U brojiocu se b b i −b -b potiru, a u imeniocu se a a i −a -a potiru.

2a+2a2−b2a+b−a+b\frac{2a + 2\sqrt{a^2-b^2}}{a + b - a + b}

Svodimo imenilac na 2b 2b i izvlačimo zajednički faktor 2 u brojiocu.

2(a+a2−b2)2b\frac{2(a + \sqrt{a^2-b^2})}{2b}

Skraćivanjem broja 2 u brojiocu i imeniocu dobijamo konačan rezultat.

a+a2−b2b\frac{a + \sqrt{a^2-b^2}}{b}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti