1116.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

6+23+2+92\sqrt{\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{2}+\frac{9}{2}}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo uprostili zadati izraz, pokušaćemo da potkorenu veličinu zapišemo kao kvadrat trinoma. Podsetimo se formule za kvadrat trinoma:

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

Uporedimo potkoreni izraz sa formulom. Pretpostavićemo da se iracionalni sabirci poklapaju sa dvostrukim proizvodima:

2ab=6,2ac=23,2bc=22ab = \sqrt{6}, \quad 2ac = 2\sqrt{3}, \quad 2bc = \sqrt{2}

Iz jednačine 2ac=23 2ac = 2\sqrt{3} možemo pretpostaviti da je a=3 a = \sqrt{3} i c=1. c = 1 .

Zamenom c=1 c = 1 u jednačinu 2bc=2, 2bc = \sqrt{2} , dobijamo vrednost za b: b :

2⋅b⋅1=2  ⟹  b=222 \cdot b \cdot 1 = \sqrt{2} \implies b = \frac{\sqrt{2}}{2}

Proverimo da li ove vrednosti zadovoljavaju i prvu jednačinu 2ab=6: 2ab = \sqrt{6} :

2⋅3⋅22=62 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}

Kako je jednakost tačna, potvrdili smo naš izbor vrednosti. Sada računamo zbir kvadrata a2+b2+c2 a^2 + b^2 + c^2 da bismo proverili da li se poklapa sa slobodnim članom 92 \frac{9}{2} u potkorenom izrazu.

a2+b2+c2=(3)2+(22)2+12a^2 + b^2 + c^2 = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1^2

Sređivanjem dobijamo vrednost koja se tačno poklapa sa slobodnim članom u zadatku:

3+24+1=4+12=923 + \frac{2}{4} + 1 = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

Zato potkoreni izraz možemo zapisati kao kvadrat trinoma:

6+23+2+92=(3+22+1)2\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{2}+\frac{9}{2} = \left(\sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right)^2

Vraćamo ovaj oblik u početni izraz:

(3+22+1)2\sqrt{\left(\sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right)^2}

Kako je izraz unutar zagrade pozitivan, koren i kvadrat se poništavaju, čime dobijamo konačno rešenje:

3+22+1\sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti