1126. Korenovanje | Balkan Tutor

Pokušajmo da izraze pod korenima zapišemo kao potpune kubove binoma oblika $(a + b\sqrt{3})^3 .$ Razmotrimo prvi izraz:

10 + 6\sqrt{3} = (a + b\sqrt{3})^3

Razvijamo desnu stranu koristeći formulu za kub zbira $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 :$

(a + b\sqrt{3})^3 = a^3 + 3a^2(b\sqrt{3}) + 3a(b\sqrt{3})^2 + (b\sqrt{3})^3

Sređujemo izraz grupisanjem racionalnih i iracionalnih delova:

a^3 + 9ab^2 + (3a^2b + 3b^3)\sqrt{3} = 10 + 6\sqrt{3}

Izjednačavamo odgovarajuće delove i rešavamo sistem po celim brojevima $a$ i $b :$

\begin{cases} a^3 + 9ab^2 = 10 \\ 3a^2b + 3b^3 = 6 \end{cases}

Proverom za $a=1$ i $b=1$ vidimo da su obe jednačine zadovoljene, što znači:

10 + 6\sqrt{3} = (1 + \sqrt{3})^3 \quad \text{i slično} \quad 10 - 6\sqrt{3} = (1 - \sqrt{3})^3

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz i skraćujemo kubne korene i stepene:

A = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{3})^3} - \sqrt[3]{(1 - \sqrt{3})^3}

Računamo konačnu vrednost izraza:

A = (1 + \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

1126.
Korenovanje