1137.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Dokazati da važi sledeća jednakost izrazivši levu stranu preko korena istog stepena i uprošćavanjem izraza:

3+63⋅9−626−18626−1=−33\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9 - 6\sqrt{2}} - \sqrt[6]{18}}{\sqrt[6]{2} - 1} = -\sqrt[3]{3}
REŠENJE ZADATKA

Prvo transformišemo izraz unutar prvog korena 3+63 \sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{6}} tako što ćemo ga svesti na šesti koren radi lakšeg množenja.

3+63=(3+6)26=3+218+66=9+626\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \sqrt[6]{(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2} = \sqrt[6]{3 + 2\sqrt{18} + 6} = \sqrt[6]{9 + 6\sqrt{2}}

Sada množimo dva dobijena šesta korena u brojiocu koristeći pravilo an⋅bn=abn. \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} .

9+626⋅9−626=(9+62)(9−62)6\sqrt[6]{9 + 6\sqrt{2}} \cdot \sqrt[6]{9 - 6\sqrt{2}} = \sqrt[6]{(9 + 6\sqrt{2})(9 - 6\sqrt{2})}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata (a−b)(a+b)=a2−b2 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 unutar korena.

92−(62)26=81−36⋅26=81−726=96\sqrt[6]{9^2 - (6\sqrt{2})^2} = \sqrt[6]{81 - 36 \cdot 2} = \sqrt[6]{81 - 72} = \sqrt[6]{9}

Sada zamenjujemo dobijenu vrednost u brojilac polaznog izraza i sređujemo ga. Primetimo da je 186=9⋅26=96⋅26. \sqrt[6]{18} = \sqrt[6]{9 \cdot 2} = \sqrt[6]{9} \cdot \sqrt[6]{2} .

96−18626−1=96−96⋅2626−1\frac{\sqrt[6]{9} - \sqrt[6]{18}}{\sqrt[6]{2} - 1} = \frac{\sqrt[6]{9} - \sqrt[6]{9} \cdot \sqrt[6]{2}}{\sqrt[6]{2} - 1}

Izvlačimo zajednički faktor 96 \sqrt[6]{9} ispred zagrade u brojiocu.

96(1−26)26−1\frac{\sqrt[6]{9}(1 - \sqrt[6]{2})}{\sqrt[6]{2} - 1}

Uočavamo da je 1−26=−(26−1), 1 - \sqrt[6]{2} = -(\sqrt[6]{2} - 1) , pa možemo skratiti razlomak.

−96(26−1)26−1=−96\frac{-\sqrt[6]{9}(\sqrt[6]{2} - 1)}{\sqrt[6]{2} - 1} = -\sqrt[6]{9}

Konačno, skraćujemo stepen korena i eksponent potkorene veličine kako bismo dobili traženi oblik.

−96=−326=−33-\sqrt[6]{9} = -\sqrt[6]{3^2} = -\sqrt[3]{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti