1093.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Osloboditi se iracionalnosti u imeniocima sledećih razlomaka:

1∘1223+333,2∘12+53+2−531^{\circ} \frac{1}{2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{3}}, \quad 2^{\circ} \frac{1}{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}}
REŠENJE ZADATKA

Rešavamo prvi primer. Koristimo identitet za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) kako bismo eliminisali treće korene u imeniocu. Ovde je a=223 a = 2\sqrt[3]{2} i b=333. b = 3\sqrt[3]{3} .

1223+333⋅(223)2−(223)(333)+(333)2(223)2−(223)(333)+(333)2\frac{1}{2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{(2\sqrt[3]{2})^2 - (2\sqrt[3]{2})(3\sqrt[3]{3}) + (3\sqrt[3]{3})^2}{(2\sqrt[3]{2})^2 - (2\sqrt[3]{2})(3\sqrt[3]{3}) + (3\sqrt[3]{3})^2}

Sređujemo izraz u brojiocu i imeniocu. U imeniocu dobijamo zbir kubova članova.

443−663+993(223)3+(333)3\frac{4\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{6} + 9\sqrt[3]{9}}{(2\sqrt[3]{2})^3 + (3\sqrt[3]{3})^3}

Računamo vrednosti kubova u imeniocu: (223)3=8⋅2=16 (2\sqrt[3]{2})^3 = 8 \cdot 2 = 16 i (333)3=27⋅3=81. (3\sqrt[3]{3})^3 = 27 \cdot 3 = 81 .

443−663+99316+81=443−663+99397\frac{4\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{6} + 9\sqrt[3]{9}}{16 + 81} = \frac{4\sqrt[3]{4} - 6\sqrt[3]{6} + 9\sqrt[3]{9}}{97}

Rešavamo drugi primer. Primetimo da su izrazi pod korenima specifični. Označimo x=2+53+2−53. x = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} . Da bismo uprostili imenilac, prvo proveravamo vrednost ovog izraza kubiranjem.

x3=(2+5)+(2−5)+3(2+5)(2−5)3(2+53+2−53)x^3 = (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) + 3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}})

Računamo vrednost unutar korena: (2+5)(2−5)=4−5=−1. (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 4 - 5 = -1 . Zamenjujemo to u jednačinu, gde je zagrada zapravo naše x. x .

x3=4+3−13⋅x  ⟹  x3=4−3xx^3 = 4 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot x \implies x^3 = 4 - 3x

Dobijamo jednačinu x3+3x−4=0. x^3 + 3x - 4 = 0 . Očigledno rešenje je x=1, x = 1 , jer je 13+3(1)−4=0. 1^3 + 3(1) - 4 = 0 . Pošto je funkcija f(x)=x3+3x−4 f(x) = x^3 + 3x - 4 strogo rastuća, ovo je jedino realno rešenje.

x=1x = 1

Pošto smo utvrdili da je ceo imenilac jednak 1, razlomak postaje:

11=1\frac{1}{1} = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti