1646.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Skicirati grafike funkcija (zadaci 268-269):

y=(3−x)∣x+1∣y = (3 - x)|x + 1|
REŠENJE ZADATKA

Da bismo skicirali grafik, prvo moramo da se oslobodimo apsolutne vrednosti. Definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću po slučajevima:

∣x+1∣={x+1,za x+1≥0−(x+1),za x+1<0|x + 1| = \begin{cases} x + 1, & \text{za } x + 1 \ge 0 \\ -(x + 1), & \text{za } x + 1 < 0 \end{cases}

Sređujemo uslove za apsolutnu vrednost kako bismo dobili intervale za x: x :

∣x+1∣={x+1,za x≥−1−x−1,za x<−1|x + 1| = \begin{cases} x + 1, & \text{za } x \ge -1 \\ -x - 1, & \text{za } x < -1 \end{cases}

Razmatramo prvi slučaj kada je x≥−1. x \ge -1 . Zamenjujemo apsolutnu vrednost u polaznu funkciju i množimo polinome:

y=(3−x)(x+1)=3x+3−x2−x=−x2+2x+3y = (3 - x)(x + 1) = 3x + 3 - x^2 - x = -x^2 + 2x + 3

Analiziramo dobijenu kvadratnu funkciju y=−x2+2x+3 y = -x^2 + 2x + 3 za x≥−1. x \ge -1 . Nule funkcije računamo rešavanjem kvadratne jednačine:

x1,2=−2±22−4⋅(−1)⋅32⋅(−1)=−2±16−2  ⟹  x1=3,x2=−1x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} \implies x_1 = 3, x_2 = -1

Računamo koordinate temena parabole za prvi slučaj. Pošto je a=−1<0, a = -1 < 0 , funkcija ima maksimum:

xT=−b2a=−2−2=1,yT=−12+2⋅1+3=4  ⟹  T1(1,4)x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{-2} = 1, \quad y_T = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 4 \implies T_1(1, 4)

Razmatramo drugi slučaj kada je x<−1. x < -1 . Zamenjujemo apsolutnu vrednost u polaznu funkciju:

y=(3−x)(−(x+1))=−(3−x)(x+1)=x2−2x−3y = (3 - x)(-(x + 1)) = -(3 - x)(x + 1) = x^2 - 2x - 3

Analiziramo dobijenu kvadratnu funkciju y=x2−2x−3 y = x^2 - 2x - 3 za x<−1. x < -1 . Nule ove funkcije su iste, ali proveravamo da li pripadaju intervalu:

x2−2x−3=0  ⟹  x1=3,x2=−1x^2 - 2x - 3 = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = -1

Računamo koordinate temena parabole za drugi slučaj. Pošto je a=1>0, a = 1 > 0 , funkcija ima minimum:

xT=−b2a=−−22=1,yT=12−2⋅1−3=−4  ⟹  T2(1,−4)x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1, \quad y_T = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4 \implies T_2(1, -4)

Pošto se teme T2(1,−4) T_2(1, -4) i nula x1=3 x_1 = 3 ne nalaze u intervalu x<−1, x < -1 , funkcija na ovom intervalu nema lokalnih ekstrema ni preseka sa x-osom. Vrednost funkcije na granici intervala za x=−1 x = -1 je:

y(−1)=(−1)2−2(−1)−3=0y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) - 3 = 0

Konačan oblik funkcije zapisujemo kao sistem dve kvadratne funkcije na odgovarajućim intervalima. Grafik se crta spajanjem ovih delova, pri čemu je tačka (−1,0) (-1, 0) prelomna tačka grafika.

y={−x2+2x+3,za x≥−1x2−2x−3,za x<−1y = \begin{cases} -x^2 + 2x + 3, & \text{za } x \ge -1 \\ x^2 - 2x - 3, & \text{za } x < -1 \end{cases}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti