1753.

308

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti realnog parametra m m jednačina 2x2−(m3+8m−1)x+m2−4m=0 2x^2 - (m^3 + 8m - 1)x + m^2 - 4m = 0 ima rešenja različitog znaka?

REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratna jednačina imala rešenja različitog znaka, potrebno je da njena diskriminanta bude pozitivna (D>0 D > 0 ) i da proizvod njenih rešenja bude negativan (x1⋅x2<0 x_1 \cdot x_2 < 0 ).

Međutim, prema Vijetovim formulama je x1⋅x2=ca. x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} . Ako je ca<0, \frac{c}{a} < 0 , tada je a⋅c<0. a \cdot c < 0 . Kako je diskriminanta D=b2−4ac, D = b^2 - 4ac , a b2≥0 b^2 \ge 0 i −4ac>0, -4ac > 0 , sledi da je D>0 D > 0 automatski ispunjeno.

Dakle, dovoljno je postaviti uslov da je proizvod rešenja negativan.

x1⋅x2<0x_1 \cdot x_2 < 0

Iz date jednačine određujemo koeficijente a a i c. c .

a=2c=m2−4m\begin{aligned} a &= 2 \\ c &= m^2 - 4m \end{aligned}

Zamenjujemo koeficijente u uslov ca<0. \frac{c}{a} < 0 .

m2−4m2<0\frac{m^2 - 4m}{2} < 0

Množimo nejednačinu sa 2.

m2−4m<0m^2 - 4m < 0

Faktorišemo izraz na levoj strani.

m(m−4)<0m(m - 4) < 0

Određujemo znak izraza pomoću tabele.

m∈(−∞,0)m \in (-\infty, 0)
m∈(0,4)m \in (0, 4)
m∈(4,+∞)m \in (4, +\infty)
mm
−-
++
++
m−4m - 4
−-
−-
++
m(m−4)m(m - 4)
++
−-
++

Rešenje nejednačine je interval u kojem je proizvod negativan.

m∈(0,4)m \in (0, 4)