3074.

29.a

TEKST ZADATKA

Ispitati koje od sledećih formula su tačne u skupu realnih brojeva: (∀x)(∀y)(∃z)(xz+y=0) (\forall x)(\forall y)(\exists z)(xz + y = 0) ;

REŠENJE ZADATKA

Da bi data formula bila tačna, za svako izabrano x x i svako izabrano y y iz skupa realnih brojeva, mora postojati bar jedno realno z z takvo da važi jednakost:

xz+y=0xz + y = 0

Pokušajmo da izrazimo z z iz date jednačine prebacivanjem y y na desnu stranu.

xz=−yxz = -y

Ako pretpostavimo da je x≠0, x \neq 0 , jednačinu možemo podeliti sa x. x .

z=−yxz = -\frac{y}{x}

U ovom slučaju, zaista za svako y y postoji odgovarajuće z. z . Međutim, univerzalni kvantifikator (∀x) (\forall x) zahteva da tvrđenje važi za apsolutno svako realno x, x , uključujući i x=0. x = 0 .

Proverimo šta se dešava kada je x=0. x = 0 . Zamenom u početnu jednačinu dobijamo:

0⋅z+y=00 \cdot z + y = 0

Sređivanjem ove jednačine dobijamo uslov za y: y :

y=0y = 0

Ovo znači da ako je x=0, x = 0 , jednačina može biti zadovoljena samo ako je i y=0. y = 0 . Ali, formula sadrži i kvantifikator (∀y), (\forall y) , što znači da mora važiti za svako y. y .

Ako izaberemo kontraprimer, na primer x=0 x = 0 i y=1, y = 1 , jednačina postaje:

0⋅z+1=0  ⟹  1=00 \cdot z + 1 = 0 \implies 1 = 0

Pošto je 1=0 1 = 0 netačno, ne postoji nijedno realno z z koje bi zadovoljilo ovu jednačinu za izabrane vrednosti x x i y. y .

Na osnovu pronađenog kontraprimera, zaključujemo da data formula nije tačna u skupu realnih brojeva.