3085.

29.d

TEKST ZADATKA

Ispitati koje od sledećih formula su tačne u skupu realnih brojeva: (∀x)(∀y)(∃z)(x(xz+y)=0) (\forall x)(\forall y)(\exists z)(x(xz + y) = 0) ;

REŠENJE ZADATKA

Analiziramo izraz x(xz+y)=0. x(xz + y) = 0 . Proizvod dva broja je nula ako i samo ako je bar jedan od činilaca jednak nuli.

x=0∨xz+y=0x = 0 \lor xz + y = 0

Razmatramo prvi slučaj kada je x=0. x = 0 . Tada izraz postaje:

0⋅(0⋅z+y)=00 \cdot (0 \cdot z + y) = 0

Ova jednakost je tačna za svako y y i svako z. z . Dakle, za x=0 x = 0 i proizvoljno y, y , postoji z z (možemo izabrati bilo koji realan broj, na primer z=0 z = 0 ) takvo da jednakost važi.

Razmatramo drugi slučaj kada je x≠0. x \neq 0 . Da bi jednakost važila, mora biti ispunjeno:

xz+y=0xz + y = 0

Rešavamo ovu jednačinu po z. z . Pošto je x≠0, x \neq 0 , možemo podeliti jednačinu sa x: x :

z=−yxz = -\frac{y}{x}

Pošto su x x i y y realni brojevi i x≠0, x \neq 0 , izraz −yx -\frac{y}{x} je uvek definisan realan broj. Znači, za svako x≠0 x \neq 0 i svako y, y , postoji realan broj z z takav da je jednakost ispunjena.

Na osnovu oba slučaja, zaključujemo da za svako x x i svako y y postoji z z takvo da je x(xz+y)=0. x(xz + y) = 0 . Data formula je tačna.