472.

2. Linearna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

sin⁡13x+cos⁡13x=2sin⁡17x\sin13x+\cos13x=\sqrt2\sin17x
REŠENJE ZADATKA

Podeliti obe strane jednačine sa: a2+b2=12+12=1+1=2,\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2+ 1^2} = \sqrt{1+1}=\sqrt2, gde su aa i bb koeficijenti koji stoje uz sin⁡x\sin{x} i cos⁡x\cos{x}

22sin⁡13x+22cos⁡13x=sin⁡17x\frac{\sqrt2}2\sin13x+\frac {\sqrt2}2\cos13x=\sin17x
DODATNO OBJAŠNJENJE

Koeficijent 22\frac {\sqrt2}2zameniti njegovim trigonometrijskim vrednostima: cos⁡π4\cos{\frac{\pi}{4}} i sin⁡π4\sin\frac {\pi}4

cos⁡π4sin⁡13x+sin⁡π4cos⁡13x=sin⁡17x\cos\frac {\pi} 4\sin13x+\sin\frac {\pi} 4\cos13x=\sin17x

Leva strana jednačine može se napisati kao sinus zbira dva ugla koristeći formulu: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}

sin⁡(π4+13x)=sin⁡17x\sin(\frac {\pi} 4+13x)=\sin17x

Rešenja jednačine su:

17x−(13x+π4)=2kπ∨17x+(13x+π4)=π+kπ,k∈Z17x-(13x+\frac{\pi}4)=2k\pi \quad\lor\quad 17x+(13x+\frac{\pi}4)=\pi+k\pi \quad, k \in \mathbb{Z}
x=π16+kπ2∨x=π40+kπ15,k∈Zx=\frac {\pi} {16}+\frac {k\pi}2 \quad\lor\quad x=\frac {\pi} {40}+\frac {k\pi} {15}, \quad k \in \mathbb{Z}