4292.

669.d

TEKST ZADATKA

Ispitati da li su ekvivalentne sledeće jednačine: x+1=0 x + 1 = 0 i x+1+x=x. x + 1 + \sqrt{x} = \sqrt{x} .

REŠENJE ZADATKA

Dve jednačine su ekvivalentne ako imaju isti skup rešenja. Prvo rešavamo prvu jednačinu.

x+1=0x + 1 = 0

Rešenje prve jednačine dobijamo direktno:

x=−1x = -1

Sada analiziramo drugu jednačinu. Pre rešavanja, moramo odrediti domen (oblast definisanosti) zbog prisustva kvadratnog korena x. \sqrt{x} . Izraz pod korenom mora biti nenegativan:

x≥0x \ge 0

Domen druge jednačine je skup D=[0,+∞). D = [0, +\infty) . Sada pokušavamo da rešimo jednačinu skraćivanjem korena sa obe strane:

x+1+x=x  ⟹  x+1=0x + 1 + \sqrt{x} = \sqrt{x} \implies x + 1 = 0

Dobijamo potencijalno rešenje x=−1. x = -1 . Međutim, moramo proveriti da li ovo rešenje pripada domenu druge jednačine.

−1∉[0,+∞)-1 \notin [0, +\infty)

Pošto x=−1 x = -1 ne pripada domenu, druga jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva. Skup rešenja prve jednačine je {−1}, \{-1\} , dok je skup rešenja druge jednačine prazan skup ∅. \emptyset .

S1={−1},S2=∅S_1 = \{-1\}, \quad S_2 = \emptyset

Zaključujemo da jednačine nisu ekvivalentne jer nemaju isti skup rešenja.

S1≠S2S_1 \neq S_2