4342.

677.d

TEKST ZADATKA

Rešiti racionalnu jednačinu: 1x+2−x−2x2−2x+4=2x3+8 \frac{1}{x+2} - \frac{x-2}{x^2-2x+4} = \frac{2}{x^3+8}

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti imenilac na desnoj strani jednačine koristeći formulu za zbir kubova: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2). a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) .

x3+8=x3+23=(x+2)(x2−2x+4)x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)

Određujemo definisanost jednačine. Imenioci ne smeju biti nula. Izraz x2−2x+4 x^2 - 2x + 4 nema realnih nula jer je diskriminanta D=(−2)2−4⋅1⋅4=−12<0, D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0 , pa je uvek pozitivan.

x+2≠0  ⟹  x≠−2x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2

Sada jednačinu možemo zapisati u sledećem obliku:

1x+2−x−2x2−2x+4=2(x+2)(x2−2x+4)\frac{1}{x+2} - \frac{x-2}{x^2-2x+4} = \frac{2}{(x+2)(x^2-2x+4)}

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem (x+2)(x2−2x+4) (x+2)(x^2-2x+4) kako bismo se oslobodili razlomaka.

1⋅(x2−2x+4)−(x−2)(x+2)=21 \cdot (x^2 - 2x + 4) - (x-2)(x+2) = 2

Sređujemo izraz koristeći formulu za razliku kvadrata (x−2)(x+2)=x2−4. (x-2)(x+2) = x^2 - 4 .

x2−2x+4−(x2−4)=2x^2 - 2x + 4 - (x^2 - 4) = 2

Oslobađamo se zagrade i računamo dalje.

x2−2x+4−x2+4=2x^2 - 2x + 4 - x^2 + 4 = 2

Potiranjem x2 x^2 i −x2 -x^2 dobijamo linearnu jednačinu.

−2x+8=2-2x + 8 = 2

Prebacujemo poznate na jednu stranu i računamo vrednost nepoznate.

−2x=2−8−2x=−6x=3-2x = 2 - 8 \\ -2x = -6 \\ x = 3

Proveravamo da li rešenje zadovoljava uslov definisanosti x≠−2. x \neq -2 . Pošto je 3≠−2, 3 \neq -2 , rešenje je validno.

x=3x = 3