2260. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti pozitivan, a izraz pod kvadratnim korenom ne sme biti negativan.

\begin{cases} x > 0 \\ \log_{1/3} x \ge 0 \end{cases}

Rešavamo nejednačinu $\log_{1/3} x \ge 0 .$ Kako je osnova logaritma $1/3 < 1 ,$ znak nejednakosti se menja pri prelasku na argumente.

\log_{1/3} x \ge \log_{1/3} 1 \implies x \le 1

Kombinovanjem uslova $x > 0$ i $x \le 1 ,$ dobijamo domen jednačine:

D_f: x \in (0, 1]

Uvodimo smenu $t = \sqrt{\log_{1/3} x} ,$ gde mora važiti $t \ge 0 .$ Tada je $\log_{1/3} x = t^2 .$

t^2 - 5t + 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći formulu:

t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{2}{2} = 1

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 4 :$

\sqrt{\log_{1/3} x} = 4 \implies \log_{1/3} x = 16 \implies x_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^{16}

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = 1 :$

\sqrt{\log_{1/3} x} = 1 \implies \log_{1/3} x = 1 \implies x_2 = \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $(0, 1] .$ Oba rešenja su pozitivna i manja ili jednaka 1, pa su oba validna.

x \in \left\{ \frac{1}{3^{16}}, \frac{1}{3} \right\}

2260.Logaritamske jednačine