2303. Logaritamske jednačine

Prvo, određujemo domen jednačine. Pošto se $x$ nalazi u imeniocu, mora biti različito od nule.

x \neq 0

Podelimo celu jednačinu sa $9^{-\frac{1}{x}}$ kako bismo dobili jednačinu sa istom osnovom.

\frac{4^{-\frac{1}{x}}}{9^{-\frac{1}{x}}} + \frac{6^{-\frac{1}{x}}}{9^{-\frac{1}{x}}} = 1

Primenjujemo pravilo za stepenovanje količnika $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n .$

\left(\frac{4}{9}\right)^{-\frac{1}{x}} + \left(\frac{6}{9}\right)^{-\frac{1}{x}} = 1

Skratimo razlomke i zapišemo ih preko osnove $\frac{2}{3} .$

\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^{-\frac{1}{x}} + \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} = 1

Sredimo stepene koristeći pravilo $(a^m)^n = a^{m \cdot n} .$

\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{2}{x}} + \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} - 1 = 0

Uvodimo smenu $t = \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} .$ Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi $t > 0 .$

t^2 + t - 1 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}

Zbog uslova $t > 0 ,$ odbacujemo negativno rešenje.

t = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

Vraćamo smenu.

\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

Logaritmujemo obe strane za osnovu $\frac{2}{3} .$

-\frac{1}{x} = \log_{\frac{2}{3}} \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right)

Izražavamo $x$ iz jednačine.

x = -\frac{1}{\log_{\frac{2}{3}} \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right)}

Primenom osobine logaritma $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a ,$ konačno rešenje možemo zapisati u drugačijem obliku.

x = -\log_{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}} \left( \frac{2}{3} \right)

2303.Logaritamske jednačine