2335. Logaritamske jednačine

Zbog definisanosti logaritamske funkcije, mora biti ispunjen uslov:

x > 0

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 10:

\lg \left( x^{3\lg^3 x - \frac{2}{3}\lg x} \right) = \lg \left( 100\sqrt[3]{10} \right)

Primenjujemo osobinu logaritma stepena $\lg a^b = b \lg a$ na levu stranu:

\left( 3\lg^3 x - \frac{2}{3}\lg x \right) \lg x = \lg \left( 100\sqrt[3]{10} \right)

Množenjem izraza na levoj strani dobijamo:

3\lg^4 x - \frac{2}{3}\lg^2 x = \lg \left( 100\sqrt[3]{10} \right)

Sređujemo desnu stranu jednačine koristeći osobine stepena i logaritma:

\lg \left( 100\sqrt[3]{10} \right) = \lg \left( 10^2 \cdot 10^{\frac{1}{3}} \right) = \lg \left( 10^{2 + \frac{1}{3}} \right) = \lg \left( 10^{\frac{7}{3}} \right) = \frac{7}{3}

Zamenjujemo dobijeni izraz u jednačinu:

3\lg^4 x - \frac{2}{3}\lg^2 x = \frac{7}{3}

Množimo celu jednačinu sa 3 kako bismo se oslobodili razlomaka i prebacujemo sve na levu stranu:

9\lg^4 x - 2\lg^2 x - 7 = 0

Uvodimo smenu $t = \lg^2 x ,$ pri čemu mora važiti $t \ge 0 :$

9t^2 - 2t - 7 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu:

t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7)}}{2 \cdot 9} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 252}}{18} = \frac{2 \pm 16}{18}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{14}{18} = -\frac{7}{9}

Pošto mora biti $t \ge 0 ,$ rešenje $t_2 = -\frac{7}{9}$ odbacujemo. Zadržavamo samo $t_1 = 1$ i vraćamo smenu:

\lg^2 x = 1

Ova jednačina se svodi na dva slučaja:

\lg x = 1 \quad \lor \quad \lg x = -1

Rešavanjem prvog slučaja dobijamo:

x_1 = 10^1 = 10

Rešavanjem drugog slučaja dobijamo:

x_2 = 10^{-1} = \frac{1}{10}

Oba rešenja zadovoljavaju početni uslov $x > 0 .$ Konačan skup rešenja je:

x \in \left\{ \frac{1}{10}, 10 \right\}

2335.Logaritamske jednačine