2378. Logaritamske nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove pod kojima je logaritam definisan. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1.

x > 0 \quad \text{i} \quad x \neq 1

Broj 32 možemo zapisati kao stepen broja 2 kako bismo pojednostavili izraz.

32 = 2^5

Zamenjujemo 32 u početnoj nejednačini i koristimo osobinu logaritma $\log_a b^n = n \log_a b .$

\log_x 2^5 > 5 \implies 5 \log_x 2 > 5

Delimo celu nejednačinu sa 5.

\log_x 2 > 1

Prelazimo na rešavanje nejednačine razmatrajući dva slučaja u zavisnosti od osnove $x .$

Prvi slučaj: $x > 1 .$ U ovom slučaju logaritamska funkcija je rastuća, pa se znak nejednakosti ne menja pri prelasku na eksponencijalni oblik.

\log_x 2 > \log_x x \implies 2 > x

Kombinujemo uslov prvog slučaja $x > 1$ i dobijeno rešenje $x < 2 .$

1 < x < 2

Drugi slučaj: $0 < x < 1 .$ U ovom slučaju logaritamska funkcija je opadajuća, pa se znak nejednakosti menja.

\log_x 2 > \log_x x \implies 2 < x

Proveravamo presek uslova $0 < x < 1$ i $x > 2 .$ Vidimo da ovaj slučaj nema rešenja.

x \in \emptyset

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja, uz poštovanje početnih uslova definisanosti.

x \in (1, 2)

545.đ