4056.

619.a

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi:

a3b2(a+b)a2b2(a2−b2)\frac{a^3b^2(a+b)}{a^2b^2(a^2-b^2)}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove pod kojima je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

a2b2(a2−b2)≠0a^2b^2(a^2-b^2) \neq 0

Iz uslova da je imenilac različit od nule, dobijamo sledeća ograničenja za promenljive a a i b: b :

a≠0,b≠0,a2−b2≠0  ⟹  (a−b)(a+b)≠0a \neq 0, \quad b \neq 0, \quad a^2 - b^2 \neq 0 \implies (a-b)(a+b) \neq 0

Dakle, konačni uslovi su:

a≠0,b≠0,a≠b,a≠−ba \neq 0, \quad b \neq 0, \quad a \neq b, \quad a \neq -b

Sada rastavljamo izraz u imeniocu koristeći formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b): a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) :

a3b2(a+b)a2b2(a−b)(a+b)\frac{a^3b^2(a+b)}{a^2b^2(a-b)(a+b)}

Skraćujemo zajedničke faktore u brojiocu i imeniocu. Možemo skratiti a2, a^2 , b2 b^2 i (a+b): (a+b) :

a2⋅a⋅b2⋅(a+b)a2⋅b2⋅(a−b)⋅(a+b)=aa−b\frac{a^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot (a+b)}{a^2 \cdot b^2 \cdot (a-b) \cdot (a+b)} = \frac{a}{a-b}

Konačan rezultat uz navedene uslove je:

aa−b,a,b≠0, a≠±b\frac{a}{a-b}, \quad a,b \neq 0, \ a \neq \pm b