4080.

621.b

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomke i zapisati uslove pod kojima dobijene jednakosti važe (zadaci 618-624):

a2−3a+2a2+2a−3\frac{a^2-3a+2}{a^2+2a-3}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo skratili razlomak, potrebno je da faktorišemo i brojilac i imenilac. Prvo ćemo faktorisati kvadratni trinom u brojiocu a2−3a+2 a^2-3a+2 rešavanjem odgovarajuće kvadratne jednačine.

a2−3a+2=0a^2-3a+2 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine.

a1,2=−(−3)±(−3)2−4⋅1⋅22⋅1=3±9−82=3±12a_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}

Rešenja su a1=2 a_1 = 2 i a2=1, a_2 = 1 , pa se brojilac može zapisati u faktorisanom obliku:

a2−3a+2=(a−2)(a−1)a^2-3a+2 = (a-2)(a-1)

Zatim faktorišemo kvadratni trinom u imeniocu a2+2a−3. a^2+2a-3 .

a2+2a−3=0a^2+2a-3 = 0

Računamo rešenja ove kvadratne jednačine.

a1,2=−2±22−4⋅1⋅(−3)2⋅1=−2±4+122=−2±162=−2±42a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}

Rešenja su a1=1 a_1 = 1 i a2=−3, a_2 = -3 , pa je faktorisan oblik imenioca:

a2+2a−3=(a−1)(a+3)a^2+2a-3 = (a-1)(a+3)

Sada možemo zapisati početni razlomak u faktorisanom obliku.

a2−3a+2a2+2a−3=(a−2)(a−1)(a−1)(a+3)\frac{a^2-3a+2}{a^2+2a-3} = \frac{(a-2)(a-1)}{(a-1)(a+3)}

Pre skraćivanja, moramo postaviti uslove pod kojima je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

(a−1)(a+3)≠0(a-1)(a+3) \neq 0

Iz ovoga dobijamo uslove za a. a .

a≠1ia≠−3a \neq 1 \quad \text{i} \quad a \neq -3

Skraćujemo zajednički faktor (a−1) (a-1) u brojiocu i imeniocu.

(a−2)(a−1)(a−1)(a+3)=a−2a+3\frac{(a-2)(a-1)}{(a-1)(a+3)} = \frac{a-2}{a+3}

Konačan rezultat uz definisane uslove je:

a−2a+3,a≠1,a≠−3\frac{a-2}{a+3}, \quad a \neq 1, a \neq -3