4265.

646.d

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i navedi uslove definisanosti:

a2−5a+6a2+7a+12:a2−4a+4a2+3a\frac{a^2-5a+6}{a^2+7a+12} : \frac{a^2-4a+4}{a^2+3a}
REŠENJE ZADATKA

Prvo faktorišemo kvadratne trinome i binome u brojiocima i imeniocima:

a2−5a+6=(a−2)(a−3)a2+7a+12=(a+3)(a+4)a2−4a+4=(a−2)2a2+3a=a(a+3)\begin{aligned} a^2-5a+6 &= (a-2)(a-3) \\ a^2+7a+12 &= (a+3)(a+4) \\ a^2-4a+4 &= (a-2)^2 \\ a^2+3a &= a(a+3) \end{aligned}

Određujemo uslove definisanosti. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli, a zbog operacije deljenja ni brojilac drugog razlomka ne sme biti nula:

a2+7a+12≠0  ⟹  a≠−3,a≠−4a2+3a≠0  ⟹  a≠0,a≠−3a2−4a+4≠0  ⟹  a≠2\begin{aligned} a^2+7a+12 &\neq 0 \implies a \neq -3, a \neq -4 \\ a^2+3a &\neq 0 \implies a \neq 0, a \neq -3 \\ a^2-4a+4 &\neq 0 \implies a \neq 2 \end{aligned}

Zapisujemo konačne uslove definisanosti (domen izraza):

a∈R∖{−4,−3,0,2}a \in \mathbb{R} \setminus \{-4, -3, 0, 2\}

Zamenjujemo faktorisane oblike u početni izraz:

(a−2)(a−3)(a+3)(a+4):(a−2)2a(a+3)\frac{(a-2)(a-3)}{(a+3)(a+4)} : \frac{(a-2)^2}{a(a+3)}

Deljenje razlomaka prevodimo u množenje recipročnom vrednošću drugog razlomka:

(a−2)(a−3)(a+3)(a+4)⋅a(a+3)(a−2)2\frac{(a-2)(a-3)}{(a+3)(a+4)} \cdot \frac{a(a+3)}{(a-2)^2}

Skraćujemo zajedničke činioce a−2 a-2 i a+3 a+3 iz brojioca i imenioca i dobijamo konačan uprošćen izraz:

a(a−3)(a+4)(a−2)\frac{a(a-3)}{(a+4)(a-2)}