4269.

648.g

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

3x−6x+2(3x−2+x2+2x+4x+2:x3−83x)⋅x2+4x+42x+2\frac{3x - 6}{x + 2} \left( \frac{3}{x - 2} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} : \frac{x^3 - 8}{3x} \right) \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{2x + 2}
REŠENJE ZADATKA

Određujemo uslove definisanosti. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli, a takođe ni izraz kojim delimo ne sme biti nula.

x+2≠0  ⟹  x≠−2x−2≠0  ⟹  x≠23x≠0  ⟹  x≠0x3−8≠0  ⟹  x≠22x+2≠0  ⟹  x≠−1\begin{aligned} x + 2 &\neq 0 \implies x \neq -2 \\ x - 2 &\neq 0 \implies x \neq 2 \\ 3x &\neq 0 \implies x \neq 0 \\ x^3 - 8 &\neq 0 \implies x \neq 2 \\ 2x + 2 &\neq 0 \implies x \neq -1 \end{aligned}

Konačan uslov definisanosti je da x x pripada skupu realnih brojeva bez vrednosti koje anuliraju imenioce.

x∈R∖{−2,−1,0,2}x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 0, 2\}

Faktorišemo polinome u izrazu kako bismo olakšali skraćivanje.

3x−6=3(x−2)x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x2+4x+4=(x+2)22x+2=2(x+1)\begin{aligned} 3x - 6 &= 3(x - 2) \\ x^3 - 8 &= (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \\ x^2 + 4x + 4 &= (x + 2)^2 \\ 2x + 2 &= 2(x + 1) \end{aligned}

Zamenjujemo faktorisane oblike u početni izraz.

3(x−2)x+2(3x−2+x2+2x+4x+2:(x−2)(x2+2x+4)3x)⋅(x+2)22(x+1)\frac{3(x - 2)}{x + 2} \left( \frac{3}{x - 2} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} : \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{3x} \right) \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Deljenje razlomaka u zagradi prevodimo u množenje recipročnom vrednošću.

3(x−2)x+2(3x−2+x2+2x+4x+2⋅3x(x−2)(x2+2x+4))⋅(x+2)22(x+1)\frac{3(x - 2)}{x + 2} \left( \frac{3}{x - 2} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} \cdot \frac{3x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \right) \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Skraćujemo izraz x2+2x+4 x^2 + 2x + 4 u zagradi.

3(x−2)x+2(3x−2+3x(x+2)(x−2))⋅(x+2)22(x+1)\frac{3(x - 2)}{x + 2} \left( \frac{3}{x - 2} + \frac{3x}{(x + 2)(x - 2)} \right) \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Sabiramo razlomke u zagradi. Zajednički imenilac je (x−2)(x+2). (x - 2)(x + 2) . Prvi razlomak proširujemo sa x+2. x + 2 .

3(x−2)x+2(3(x+2)+3x(x−2)(x+2))⋅(x+2)22(x+1)\frac{3(x - 2)}{x + 2} \left( \frac{3(x + 2) + 3x}{(x - 2)(x + 2)} \right) \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Sređujemo brojilac u zagradi.

3(x−2)x+2⋅3x+6+3x(x−2)(x+2)⋅(x+2)22(x+1)=3(x−2)x+2⋅6x+6(x−2)(x+2)⋅(x+2)22(x+1)\frac{3(x - 2)}{x + 2} \cdot \frac{3x + 6 + 3x}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)} = \frac{3(x - 2)}{x + 2} \cdot \frac{6x + 6}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Faktorišemo izraz 6x+6 6x + 6 u brojiocu.

3(x−2)x+2⋅6(x+1)(x−2)(x+2)⋅(x+2)22(x+1)\frac{3(x - 2)}{x + 2} \cdot \frac{6(x + 1)}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Množimo razlomke i zapisujemo sve pod jednom razlomačkom crtom.

3(x−2)⋅6(x+1)⋅(x+2)2(x+2)⋅(x−2)(x+2)⋅2(x+1)\frac{3(x - 2) \cdot 6(x + 1) \cdot (x + 2)^2}{(x + 2) \cdot (x - 2)(x + 2) \cdot 2(x + 1)}

Sređujemo imenilac množenjem istih činilaca.

18(x−2)(x+1)(x+2)22(x−2)(x+1)(x+2)2\frac{18(x - 2)(x + 1)(x + 2)^2}{2(x - 2)(x + 1)(x + 2)^2}

Skraćujemo zajedničke činioce u brojiocu i imeniocu (x−2, x - 2 , x+1 x + 1 i (x+2)2 (x + 2)^2 ) i dobijamo konačan rezultat.

182=9\frac{18}{2} = 9