4271.

649.b

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i odredi uslove definisanosti:

2a5−a3+4a1569a−2a+54\frac{\frac{2a}{5} - \frac{a}{3} + \frac{4a}{15}}{\frac{6}{9a} - \frac{2a + 5}{4}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo postavljamo uslove definisanosti. Imenioci u razlomcima ne smeju biti jednaki nuli. Iz imenioca 9a 9a dobijamo prvi uslov:

9a≠0  ⟹  a≠09a \neq 0 \implies a \neq 0

Sređujemo brojilac glavnog razlomka. Tražimo najmanji zajednički sadržalac za imenioce 5, 3 i 15, što je 15.

2a5−a3+4a15=3⋅2a−5⋅a+1⋅4a15\frac{2a}{5} - \frac{a}{3} + \frac{4a}{15} = \frac{3 \cdot 2a - 5 \cdot a + 1 \cdot 4a}{15}

Množimo i sabiramo članove u brojiocu.

6a−5a+4a15=5a15\frac{6a - 5a + 4a}{15} = \frac{5a}{15}

Skraćujemo dobijeni razlomak sa 5.

5a15=a3\frac{5a}{15} = \frac{a}{3}

Sada prelazimo na imenilac glavnog razlomka. Prvo skraćujemo razlomak 69a \frac{6}{9a} sa 3.

69a−2a+54=23a−2a+54\frac{6}{9a} - \frac{2a + 5}{4} = \frac{2}{3a} - \frac{2a + 5}{4}

Nalazimo zajednički imenilac za 3a 3a i 4, što je 12a. 12a .

4⋅2−3a(2a+5)12a\frac{4 \cdot 2 - 3a(2a + 5)}{12a}

Množimo i sređujemo izraz u brojiocu.

8−6a2−15a12a\frac{8 - 6a^2 - 15a}{12a}

Sada možemo postaviti uslov definisanosti za glavni imenilac, koji takođe ne sme biti nula.

−6a2−15a+812a≠0  ⟹  −6a2−15a+8≠0\frac{-6a^2 - 15a + 8}{12a} \neq 0 \implies -6a^2 - 15a + 8 \neq 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu 6a2+15a−8=0 6a^2 + 15a - 8 = 0 da bismo našli preostale uslove za a. a .

a1,2=−15±152−4⋅6⋅(−8)2⋅6=−15±41712a_{1,2} = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-8)}}{2 \cdot 6} = \frac{-15 \pm \sqrt{417}}{12}

Zapisujemo sve uslove definisanosti izraza.

a≠0ia≠−15±41712a \neq 0 \quad \text{i} \quad a \neq \frac{-15 \pm \sqrt{417}}{12}

Zamenjujemo sređeni brojilac i imenilac nazad u početni izraz.

a3−6a2−15a+812a\frac{\frac{a}{3}}{\frac{-6a^2 - 15a + 8}{12a}}

Rešavamo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova.

a⋅12a3⋅(−6a2−15a+8)\frac{a \cdot 12a}{3 \cdot (-6a^2 - 15a + 8)}

Skraćujemo 12 i 3 sa 3, i množimo a⋅a. a \cdot a .

4a2−6a2−15a+8\frac{4a^2}{-6a^2 - 15a + 8}

Izvlačimo minus ispred razlomka radi standardnijeg zapisa polinoma u imeniocu.

−4a26a2+15a−8-\frac{4a^2}{6a^2 + 15a - 8}