4286.

650.a

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

x+yx−y−x−yx+yx−yx+y+x+yx−y\frac{\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x+y}}{\frac{x-y}{x+y}+\frac{x+y}{x-y}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

{x−y≠0  ⟹  x≠yx+y≠0  ⟹  x≠−y\begin{cases} x - y \neq 0 \implies x \neq y \\ x + y \neq 0 \implies x \neq -y \end{cases}

Svodimo brojilac glavnog razlomka na zajednički imenilac.

x+yx−y−x−yx+y=(x+y)2−(x−y)2(x−y)(x+y)\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{(x-y)(x+y)}

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma u brojiocu i uprošćavamo izraz.

(x2+2xy+y2)−(x2−2xy+y2)(x−y)(x+y)=4xy(x−y)(x+y)\frac{(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)}{(x-y)(x+y)} = \frac{4xy}{(x-y)(x+y)}

Sada svodimo imenilac glavnog razlomka na zajednički imenilac.

x−yx+y+x+yx−y=(x−y)2+(x+y)2(x+y)(x−y)\frac{x-y}{x+y} + \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x-y)^2 + (x+y)^2}{(x+y)(x-y)}

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma u brojiocu i sabiramo slične članove.

(x2−2xy+y2)+(x2+2xy+y2)(x+y)(x−y)=2x2+2y2(x+y)(x−y)=2(x2+y2)(x+y)(x−y)\frac{(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)}{(x+y)(x-y)} = \frac{2x^2 + 2y^2}{(x+y)(x-y)} = \frac{2(x^2 + y^2)}{(x+y)(x-y)}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početni dvojni razlomak. Primetimo da glavni imenilac ne sme biti nula, što znači da x2+y2≠0, x^2 + y^2 \neq 0 , odnosno x x i y y ne smeju istovremeno biti nula (što je već pokriveno uslovima x≠y x \neq y i x≠−y x \neq -y ).

4xy(x−y)(x+y)2(x2+y2)(x+y)(x−y)\frac{\frac{4xy}{(x-y)(x+y)}}{\frac{2(x^2 + y^2)}{(x+y)(x-y)}}

Rešavamo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova.

4xy⋅(x+y)(x−y)2(x2+y2)⋅(x−y)(x+y)\frac{4xy \cdot (x+y)(x-y)}{2(x^2 + y^2) \cdot (x-y)(x+y)}

Skraćujemo zajedničke činioce (x+y)(x−y) (x+y)(x-y) i broj 2 2 kako bismo dobili konačno rešenje.

2xyx2+y2\frac{2xy}{x^2 + y^2}