Podeli

2758.
Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

REŠENJE ZADATKA

1. Domen funkcije: Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

2. Periodičnost: Funkcija je periodična sa osnovnim periodom $T = 2\pi .$

f(x + 2\pi) = -\sin(x + 2\pi) = -\sin x = f(x)

3. Parnost i neparnost: Proveravamo da li je funkcija parna ili neparna računajući $f(-x) .$

f(-x) = -\sin(-x) = -(-\sin x) = \sin x = -f(x)

Pošto je $f(-x) = -f(x) ,$ funkcija je neparna. Njen grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak.

4. Nule funkcije: Rešavamo jednačinu $y = 0$ da bismo našli preseke sa x-osom.

-\sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Presek sa y-osom dobijamo za $x = 0 .$

y(0) = -\sin 0 = 0

5. Znak funkcije: Određujemo intervale u kojima je funkcija pozitivna.

y > 0 \implies -\sin x > 0 \implies \sin x < 0 \implies x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)

Određujemo intervale u kojima je funkcija negativna.

y < 0 \implies -\sin x < 0 \implies \sin x > 0 \implies x \in (2k\pi, \pi + 2k\pi)

6. Prvi izvod i monotonost: Računamo prvi izvod funkcije.

y' = (-\sin x)' = -\cos x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke.

y' = 0 \implies -\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija raste kada je prvi izvod pozitivan ( $y' > 0$ ).

-\cos x > 0 \implies \cos x < 0 \implies x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right)

Funkcija opada kada je prvi izvod negativan ( $y' < 0$ ).

-\cos x < 0 \implies \cos x > 0 \implies x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)

7. Ekstremne vrednosti: Na osnovu promene znaka prvog izvoda određujemo tačke minimuma i maksimuma.

P_{min}\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, -1\right), \quad P_{max}\left(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi, 1\right)

8. Drugi izvod i konveksnost: Računamo drugi izvod funkcije.

y'' = (-\cos x)' = \sin x

Prevojne tačke se nalaze tamo gde je drugi izvod jednak nuli.

y'' = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konveksna (okrenuta nagore) kada je drugi izvod pozitivan.

y'' > 0 \implies \sin x > 0 \implies x \in (2k\pi, \pi + 2k\pi)

Funkcija je konkavna (okrenuta nadole) kada je drugi izvod negativan.

y'' < 0 \implies \sin x < 0 \implies x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)

9. Asimptote: Funkcija nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote jer je definisana i neprekidna na celom skupu realnih brojeva i periodična je.

2758.Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija