2761.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcija (zadaci 859-864): y=sin⁡∣x∣ y = \sin |x| ;

REŠENJE ZADATKA

Pre početka ispitivanja toka funkcije, definisaćemo izraz sa apsolutnom vrednošću:

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Na osnovu ovoga, funkciju možemo zapisati u obliku:

y={sin⁡x,za x≥0sin⁡(−x),za x<0={sin⁡x,za x≥0−sin⁡x,za x<0y = \begin{cases} \sin x, & \text{za } x \ge 0 \\ \sin(-x), & \text{za } x < 0 \end{cases} = \begin{cases} \sin x, & \text{za } x \ge 0 \\ -\sin x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

1. Domen funkcije. Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

Df=RD_f = \mathbb{R}

2. Parnost funkcije. Proveravamo da li je funkcija parna ili neparna računajući f(−x). f(-x) .

f(−x)=sin⁡∣−x∣=sin⁡∣x∣=f(x)f(-x) = \sin |-x| = \sin |x| = f(x)

Pošto je f(−x)=f(x), f(-x) = f(x) , funkcija je parna. Njen grafik je simetričan u odnosu na y-osu. Zbog ovoga je dovoljno ispitati funkciju za x≥0 x \ge 0 i preslikati grafik simetrično.

3. Periodičnost. Iako je sinusna funkcija periodična, zbog apsolutne vrednosti funkcija u celini nije periodična na celom domenu. Ipak, za x>0 x > 0 se ponaša kao periodična funkcija sa periodom 2π. 2\pi .

4. Nule funkcije. Rešavamo jednačinu y=0. y = 0 .

sin⁡∣x∣=0  ⟹  ∣x∣=kπ  ⟹  x=kπ,k∈Z\sin |x| = 0 \implies |x| = k\pi \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

5. Znak funkcije. Posmatramo interval x>0 x > 0 gde je y=sin⁡x. y = \sin x .

y>0 za x∈(2kπ,(2k+1)π),y<0 za x∈((2k+1)π,(2k+2)π),k∈N0y > 0 \text{ za } x \in (2k\pi, (2k+1)\pi), \quad y < 0 \text{ za } x \in ((2k+1)\pi, (2k+2)\pi), \quad k \in \mathbb{N}_0

6. Prvi izvod, monotonost i ekstremne vrednosti. Računamo prvi izvod za x>0. x > 0 .

y′=(sin⁡x)′=cos⁡xy' = (\sin x)' = \cos x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da nađemo stacionarne tačke za x>0. x > 0 .

cos⁡x=0  ⟹  x=π2+kπ,k∈N0\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{N}_0

Za x>0, x > 0 , funkcija raste kada je cos⁡x>0 \cos x > 0 i opada kada je cos⁡x<0. \cos x < 0 . Maksimumi su u tačkama x=π2+2kπ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi gde je y=1, y = 1 , a minimumi u x=3π2+2kπ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi gde je y=−1. y = -1 .

Ispitujemo diferencijabilnost u tački x=0. x = 0 . Tražimo levi i desni izvod.

lim⁡x→0−y′=lim⁡x→0−(−cos⁡x)=−1,lim⁡x→0+y′=lim⁡x→0+(cos⁡x)=1\lim_{x \to 0^-} y' = \lim_{x \to 0^-} (-\cos x) = -1, \quad \lim_{x \to 0^+} y' = \lim_{x \to 0^+} (\cos x) = 1

Pošto levi i desni izvod u nuli nisu jednaki, funkcija nije diferencijabilna u x=0. x = 0 . Tu se nalazi lokalni minimum (šiljak) jer funkcija opada za x<0 x < 0 (blizu nule) i raste za x>0. x > 0 .

Tmin(0,0)T_{min}(0, 0)

7. Drugi izvod, konveksnost i prevojne tačke. Računamo drugi izvod za x>0. x > 0 .

y′′=(cos⁡x)′=−sin⁡xy'' = (\cos x)' = -\sin x

Za x>0, x > 0 , funkcija je konveksna (okrenuta na gore) kada je y′′>0, y'' > 0 , odnosno sin⁡x<0. \sin x < 0 . Konkavna je kada je y′′<0, y'' < 0 , odnosno sin⁡x>0. \sin x > 0 . Prevojne tačke su nule drugog izvoda.

y′′=0  ⟹  sin⁡x=0  ⟹  x=kπ,k∈Ny'' = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{N}

8. Asimptote. Funkcija je neprekidna na celom domenu, pa nema vertikalnih asimptota. Kako je periodična za x>0 x > 0 i x<0, x < 0 , ne teži konačnoj vrednosti kada x→±∞, x \to \pm\infty , pa nema ni horizontalnih ni kosih asimptota.

9. Grafik funkcije se crta tako što se za x≥0 x \ge 0 nacrta standardni grafik funkcije y=sin⁡x, y = \sin x , a zatim se taj deo simetrično preslika u odnosu na y-osu za x<0. x < 0 .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti