2769.

846.b

TEKST ZADATKA

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija: y=12−∣cos⁡x∣. y = \frac{1}{2 - |\cos x|} .

REŠENJE ZADATKA

Prema definiciji apsolutne vrednosti, izraz pod apsolutnom vrednošću definišemo na sledeći način:

∣cos⁡x∣={cos⁡x,za cos⁡x≥0−cos⁡x,za cos⁡x<0|\cos x| = \begin{cases} \cos x, & \text{za } \cos x \ge 0 \\ -\cos x, & \text{za } \cos x < 0 \end{cases}

Za određivanje ekstremnih vrednosti, posmatramo opseg vrednosti funkcije kosinus. Znamo da za svako realno x x važi:

0≤∣cos⁡x∣≤10 \le |\cos x| \le 1

Množenjem nejednakosti sa −1 -1 menja se smer nejednakosti, pa dobijamo:

0≥−∣cos⁡x∣≥−10 \ge -|\cos x| \ge -1

Dodavanjem broja 2 2 svim stranama nejednakosti, dobijamo opseg vrednosti imenioca:

2≥2−∣cos⁡x∣≥12 \ge 2 - |\cos x| \ge 1

Zapisano u uobičajenom redosledu, to je:

1≤2−∣cos⁡x∣≤21 \le 2 - |\cos x| \le 2

Pošto su sve vrednosti pozitivne, uzimanjem recipročne vrednosti menja se smer nejednakosti:

1≥12−∣cos⁡x∣≥121 \ge \frac{1}{2 - |\cos x|} \ge \frac{1}{2}

Odnosno, opseg vrednosti funkcije y y je:

12≤y≤1\frac{1}{2} \le y \le 1

Minimalna vrednost funkcije je ymin=12. y_{min} = \frac{1}{2} . Ona se dostiže kada je imenilac najveći, odnosno kada je ∣cos⁡x∣=0. |\cos x| = 0 .

cos⁡x=0  ⟹  x=π2+kπ,k∈Z\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Maksimalna vrednost funkcije je ymax=1. y_{max} = 1 . Ona se dostiže kada je imenilac najmanji, odnosno kada je ∣cos⁡x∣=1. |\cos x| = 1 .

cos⁡x=±1  ⟹  x=kπ,k∈Z\cos x = \pm 1 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}