2086.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

tg α+ctg βctg α+tg β−tg α⋅ctg β\frac{\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta}{\text{ctg} \, \alpha + \text{tg} \, \beta} - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta
REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo početni izraz:

tg α+ctg βctg α+tg β−tg α⋅ctg β\frac{\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta}{\text{ctg} \, \alpha + \text{tg} \, \beta} - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta

Koristimo osnovne trigonometrijske identitete da izrazimo imenilac preko istih funkcija koje se nalaze u brojiocu. Znamo da su tangens i kotangens istog ugla recipročne vrednosti:

ctg α=1tg αitg β=1ctg β\text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{\text{tg} \, \alpha} \quad \text{i} \quad \text{tg} \, \beta = \frac{1}{\text{ctg} \, \beta}

Zamenjujemo ove identitete u imenilac razlomka:

tg α+ctg β1tg α+1ctg β−tg α⋅ctg β\frac{\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta}{\frac{1}{\text{tg} \, \alpha} + \frac{1}{\text{ctg} \, \beta}} - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta

Sabiramo razlomke u imeniocu tako što nalazimo zajednički imenilac, koji iznosi tg α⋅ctg β: \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta :

tg α+ctg βctg β+tg αtg α⋅ctg β−tg α⋅ctg β\frac{\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta}{\frac{\text{ctg} \, \beta + \text{tg} \, \alpha}{\text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta}} - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta

Rešavamo dvojni razlomak. Podsećamo se pravila abcd=a⋅db⋅c. \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} . U našem slučaju, brojilac možemo posmatrati kao razlomak sa imeniocem 1:

tg α+ctg β1ctg β+tg αtg α⋅ctg β−tg α⋅ctg β\frac{\frac{\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta}{1}}{\frac{\text{ctg} \, \beta + \text{tg} \, \alpha}{\text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta}} - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta

Množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova dvojnog razlomka dobijamo:

(tg α+ctg β)⋅(tg α⋅ctg β)tg α+ctg β−tg α⋅ctg β\frac{(\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta) \cdot (\text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta)}{\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta} - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta

Skraćujemo izraz tg α+ctg β \text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \beta u brojiocu i imeniocu (uz pretpostavku da je različit od nule):

tg α⋅ctg β−tg α⋅ctg β\text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta - \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \beta

Oduzimanjem preostalih članova dobijamo konačan rezultat:

00

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti