2089.

622

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

tgα+ctgα−1sin⁡αcos⁡α\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha - \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo izraziti tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa koristeći osnovne trigonometrijske identitete:

tgα=sin⁡αcos⁡α,ctgα=cos⁡αsin⁡α\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Zamenjujemo ove vrednosti u početni izraz:

sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α−1sin⁡αcos⁡α\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}

Svodimo prva dva razlomka na zajednički imenilac sin⁡αcos⁡α \sin \alpha \cos \alpha i sabiramo ih:

sin⁡α⋅sin⁡α+cos⁡α⋅cos⁡αsin⁡αcos⁡α−1sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α−1sin⁡αcos⁡α\frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha + \cos \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} - \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} - \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 na brojilac prvog razlomka:

1sin⁡αcos⁡α−1sin⁡αcos⁡α\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} - \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}

Oduzimanjem ova dva identična izraza dobijamo konačan rezultat:

00