2091.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz: (1+ctgx+1sin⁡x)(1+ctgx−1sin⁡x) \left(1 + \text{ctg} x + \frac{1}{\sin x}\right) \left(1 + \text{ctg} x - \frac{1}{\sin x}\right)

REŠENJE ZADATKA

Primećujemo da je izraz oblika razlike kvadrata (A+B)(A−B)=A2−B2, (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 , gde je A=1+ctgx A = 1 + \text{ctg} x i B=1sin⁡x. B = \frac{1}{\sin x} . Primenjujemo ovu formulu.

(1+ctgx)2−(1sin⁡x)2\left(1 + \text{ctg} x\right)^2 - \left(\frac{1}{\sin x}\right)^2

Kvadriramo prvi član koristeći formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 i kvadriramo razlomak.

1+2ctgx+ctg2x−1sin⁡2x1 + 2\text{ctg} x + \text{ctg}^2 x - \frac{1}{\sin^2 x}

Da bismo uprostili izraz, podsetimo se osnovnog trigonometrijskog identiteta sin⁡2x+cos⁡2x=1. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 . Ako podelimo celu jednačinu sa sin⁡2x, \sin^2 x , dobijamo vezu između kotangensa i sinusa.

sin⁡2xsin⁡2x+cos⁡2xsin⁡2x=1sin⁡2x  ⟹  1+ctg2x=1sin⁡2x\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} \implies 1 + \text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}

Iz prethodnog identiteta možemo izraziti razliku ctg2x−1sin⁡2x \text{ctg}^2 x - \frac{1}{\sin^2 x} prebacivanjem članova.

ctg2x−1sin⁡2x=−1\text{ctg}^2 x - \frac{1}{\sin^2 x} = -1

Zamenjujemo dobijenu vrednost nazad u naš izraz.

1+2ctgx−11 + 2\text{ctg} x - 1

Poništavamo brojeve 1 1 i −1 -1 i dobijamo konačan rezultat.

2ctgx2\text{ctg} x

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti