2102.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

cos⁡2α(tgα+2)(2tgα+1)−5sin⁡αcos⁡α\cos^2 \alpha (\text{tg} \alpha + 2)(2 \text{tg} \alpha + 1) - 5 \sin \alpha \cos \alpha
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pomnožiti izraze u zagradama.

(tgα+2)(2tgα+1)=2tg2α+tgα+4tgα+2=2tg2α+5tgα+2(\text{tg} \alpha + 2)(2 \text{tg} \alpha + 1) = 2 \text{tg}^2 \alpha + \text{tg} \alpha + 4 \text{tg} \alpha + 2 = 2 \text{tg}^2 \alpha + 5 \text{tg} \alpha + 2

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u početni zadatak.

cos⁡2α(2tg2α+5tgα+2)−5sin⁡αcos⁡α\cos^2 \alpha (2 \text{tg}^2 \alpha + 5 \text{tg} \alpha + 2) - 5 \sin \alpha \cos \alpha

Množimo svaki član u zagradi sa cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

2cos⁡2αtg2α+5cos⁡2αtgα+2cos⁡2α−5sin⁡αcos⁡α2 \cos^2 \alpha \text{tg}^2 \alpha + 5 \cos^2 \alpha \text{tg} \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 5 \sin \alpha \cos \alpha

Koristimo definiciju tangensa, tgα=sin⁡αcos⁡α, \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , kako bismo uprostili izraz.

2cos⁡2α(sin⁡αcos⁡α)2+5cos⁡2α(sin⁡αcos⁡α)+2cos⁡2α−5sin⁡αcos⁡α2 \cos^2 \alpha \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 + 5 \cos^2 \alpha \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) + 2 \cos^2 \alpha - 5 \sin \alpha \cos \alpha

Nakon skraćivanja cos⁡2α \cos^2 \alpha i cos⁡α \cos \alpha u prvom i drugom članu, dobijamo:

2sin⁡2α+5sin⁡αcos⁡α+2cos⁡2α−5sin⁡αcos⁡α2 \sin^2 \alpha + 5 \sin \alpha \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 5 \sin \alpha \cos \alpha

Članovi 5sin⁡αcos⁡α 5 \sin \alpha \cos \alpha i −5sin⁡αcos⁡α -5 \sin \alpha \cos \alpha se potiru.

2sin⁡2α+2cos⁡2α2 \sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha

Izdvajamo zajednički činilac 2 2 ispred zagrade.

2(sin⁡2α+cos⁡2α)2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

2⋅1=22 \cdot 1 = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti