2106.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći trigonometrijski izraz:

sin⁡4α−cos⁡4α+sin⁡2α⋅ctg2α\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo grupisati i uprostiti prva dva člana izraza koristeći formulu za razliku kvadrata: a2−b2=(a−b)(a+b). a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) .

sin⁡4α−cos⁡4α=(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Prema osnovnom trigonometrijskom identitetu, zbir kvadrata sinusa i kosinusa istog ugla jednak je 1.

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Zamenom ovog identiteta u prethodni izraz, dobijamo uprošćen oblik za prva dva člana:

(sin⁡2α−cos⁡2α)⋅1=sin⁡2α−cos⁡2α(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha

Sada ćemo uprostiti treći član izraza. Znamo da se kotangens može zapisati kao količnik kosinusa i sinusa: ctgα=cos⁡αsin⁡α. \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

sin⁡2α⋅ctg2α=sin⁡2α⋅cos⁡2αsin⁡2α\sin^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}

Skraćivanjem sin⁡2α \sin^2 \alpha u brojiocu i imeniocu dobijamo:

sin⁡2α⋅cos⁡2αsin⁡2α=cos⁡2α\sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha

Na kraju, sabiramo uprošćene delove celokupnog izraza:

(sin⁡2α−cos⁡2α)+cos⁡2α(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha

Potiranjem −cos⁡2α -\cos^2 \alpha i cos⁡2α \cos^2 \alpha dobijamo konačno rešenje:

sin⁡2α\sin^2 \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti