2242. Pojam i svojstva logaritma

Da bismo dokazali jednakost, transformisaćemo levu stranu izraza. Primetimo da se u izrazu pojavljuju dekadni logaritmi (osnova 10). Iskoristićemo identitet $a^{\log_c b} = b^{\log_c a} .$ Da bismo to pokazali, logaritmujemo obe strane za osnovu $c :$

\log_c(a^{\log_c b}) = \log_c b \cdot \log_c a

Slično, za desnu stranu identiteta važi:

\log_c(b^{\log_c a}) = \log_c a \cdot \log_c b

Pošto su logaritmi strana jednaki, važi opšte pravilo:

a^{\log_c b} = b^{\log_c a}

Primenimo ovo pravilo na brojilac našeg izraza $5^{\lg 20} ,$ gde je $a = 5 ,$ $b = 20$ i osnova $c = 10 :$

5^{\lg 20} = 20^{\lg 5}

Sada zamenimo dobijenu vrednost brojioca u početni razlomak:

\frac{5^{\lg 20}}{20^{\lg 5}} = \frac{20^{\lg 5}}{20^{\lg 5}}

Pošto su brojilac i imenilac identični i različiti od nule, njihov količnik je 1:

\frac{20^{\lg 5}}{20^{\lg 5}} = 1

Ovim je dokaz završen.

1 = 1

505