3995.

607.đ

TEKST ZADATKA

Koristeći Bezuovu teoremu, rastaviti na činioce polinome: p(x)=x5+3x4−11x3−27x2+10x+24. p(x) = x^5 + 3x^4 - 11x^3 - 27x^2 + 10x + 24 .

REŠENJE ZADATKA

Prema posledici Bezuove teoreme, ako je ceo broj a a nula polinoma sa celobrojnim koeficijentima i vodećim koeficijentom 1, tada a a mora biti delilac slobodnog člana. Slobodan član je 24, pa su mogući delioci: ±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12,±24. \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24 .

Proveravamo da li je x=1 x = 1 nula polinoma, odnosno računamo vrednost p(1). p(1) .

p(1)=15+3⋅14−11⋅13−27⋅12+10⋅1+24=1+3−11−27+10+24=0p(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^4 - 11 \cdot 1^3 - 27 \cdot 1^2 + 10 \cdot 1 + 24 = 1 + 3 - 11 - 27 + 10 + 24 = 0

Pošto je p(1)=0, p(1) = 0 , na osnovu Bezuove teoreme polinom je deljiv sa x−1. x - 1 . Delimo polinom p(x) p(x) sa x−1. x - 1 .

(x5+3x4−11x3−27x2+10x+24):(x−1)=x4+4x3−7x2−34x−24(x^5 + 3x^4 - 11x^3 - 27x^2 + 10x + 24) : (x - 1) = x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 34x - 24

Dobili smo količnik p1(x)=x4+4x3−7x2−34x−24. p_1(x) = x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 34x - 24 . Sada tražimo nule ovog polinoma. Slobodan član je -24, pa ponovo testiramo njegove delioce. Proveravamo da li je x=−1 x = -1 nula polinoma p1(x). p_1(x) .

p1(−1)=(−1)4+4(−1)3−7(−1)2−34(−1)−24=1−4−7+34−24=0p_1(-1) = (-1)^4 + 4(-1)^3 - 7(-1)^2 - 34(-1) - 24 = 1 - 4 - 7 + 34 - 24 = 0

Pošto je p1(−1)=0, p_1(-1) = 0 , polinom p1(x) p_1(x) je deljiv sa x+1. x + 1 . Delimo p1(x) p_1(x) sa x+1. x + 1 .

(x4+4x3−7x2−34x−24):(x+1)=x3+3x2−10x−24(x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 34x - 24) : (x + 1) = x^3 + 3x^2 - 10x - 24

Dobili smo količnik p2(x)=x3+3x2−10x−24. p_2(x) = x^3 + 3x^2 - 10x - 24 . Tražimo nule ovog polinoma. Slobodan član je -24. Proveravamo da li je x=−2 x = -2 nula polinoma p2(x). p_2(x) .

p2(−2)=(−2)3+3(−2)2−10(−2)−24=−8+12+20−24=0p_2(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 10(-2) - 24 = -8 + 12 + 20 - 24 = 0

Pošto je p2(−2)=0, p_2(-2) = 0 , polinom p2(x) p_2(x) je deljiv sa x+2. x + 2 . Delimo p2(x) p_2(x) sa x+2. x + 2 .

(x3+3x2−10x−24):(x+2)=x2+x−12(x^3 + 3x^2 - 10x - 24) : (x + 2) = x^2 + x - 12

Dobili smo kvadratni trinom p3(x)=x2+x−12. p_3(x) = x^2 + x - 12 . Njega možemo rastaviti na činioce grupisanjem članova.

x2+x−12=x2+4x−3x−12=x(x+4)−3(x+4)=(x−3)(x+4)x^2 + x - 12 = x^2 + 4x - 3x - 12 = x(x + 4) - 3(x + 4) = (x - 3)(x + 4)

Konačno, zapisujemo početni polinom kao proizvod svih dobijenih činilaca.

p(x)=(x−1)(x+1)(x+2)(x−3)(x+4)p(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4)